Matrices

Problemas de Álgebra Lineal de acuerdo a Mielgo, Vega & Wirnitzer

Problemas resueltos de Matrices de acuerdo a Mielgo, Vega & Wirnitzer 1. Sean  ,  ,  y  las siguientes matrices: = µ 1 −1 1 1 ¶ , = µ 4 5 6 1 ¶ ⎞ ⎛ ⎞ 2 −1 3 1 1 −2 ⎠ ,  = ⎝ 3 ⎠ , =⎝ 4 −1 5 2 2 ⎛

(b) Encuentra las matrices que conmutan con la matriz  (d) Calcula  ¿ está definida  ? , ¿ y 2 ? (e) Calcula 10Solución: (a)  6=  (c) Prueba que ()2 6= 2  2

(a) Prueba que las matrices  y  no conmutan, esto es,  6= 

¶µ ¶ µ ¶ 1 −1 4 5 −2 4  = = 1 1 6 1 10 6 µ ¶µ ¶ µ ¶ 4 5 1 −1 9 1  = = 6 1 1 1 7 −5 µ     ¶

µ

(b) Sea

una matriz que conmuta con la matriz  Entonces µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ 1 −1     1 −1 = 1 1     1 1 Esto implica que − − + + ⎫ = + ⎪ ⎪ ¾ ¾ ⎬ = − +  += 0  = − =⇒ =⇒ = + ⎪ − = 0  =  ⎪ ⎭ = − + 

Por tanto, las matrices que conmutan con la matriz  son todas las matrices de la forma ¶ ¾ ½µ  −    ∈ R  
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(c) ()2 6= 2  2 ()2 = () () =

µ

−2 4 10 6

¶µ

−2 4 10 6

¶=

µ

44 16 40 76

¶

Por otra parte, se tiene que µ ¶µ 1 −1 1 2 = 1 1 1 µ ¶µ 4 5 4 2 = 6 1 6 µ ¶µ 0 −2 46 2  2 = 2 0 30 En consecuencia, (d)
2

¶ µ ¶ −1 0 −2 = 1 2 0 ¶ µ ¶ 5 46 25 = 1 30 31 ¶ µ ¶ 25 −60 −62 = 31 92 50

() 6= 2  2 ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 2 −1 3 1 5 1 −2 ⎠ ⎝ 3 ⎠ = ⎝ 3 ⎠  = ⎝ 4 −1 5 2 2 18  y 2 no se pueden multiplicar µ ¶µ ⎛

(e) 10 ¶ µ ¶ 0 −2 −4 0  = ; =  = =2 0 0 −4 µ ¶µ ¶ µ ¶ 0 −2 0 8 −4 0 6 = 4 2 = = 0 −4 2 0 −8 0 µ ¶µ ¶ µ ¶ 0 8 −4 0 0 −32 10 = 6 4 = = −8 0 0 −4 32 0
2

µ

0 −2 2 0

¶

4

2

2

0 −2 2 0

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2

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2. Se considera las matrices siguientes: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 −1 0 0 0 1 ⎠  = ⎝ −1 2⎠ ;  = ⎝ 0 0 5 0 −1 0 µ ¶ µ ¶ ¡ ¢ 5 2 −3 1 = ;= 1 2 ; = 0 4 −1 3 (b) Calcula   ,   ,     . Comparar con ()  Solución: (a)

(a) Calcula los productos  , , ,  y   ¿ se puede calcular  ?

⎞ µ ¶ −1 0 −5 3 2 ⎝ 0 ⎠ ;  = 5  = 0 1 4 1 −2 ⎛ ⎞ µ ¶ 5 2 −3 3 −11 1 ⎠ ;  =  = ⎝ −5 6 −4 3 0 20 −5 µ ¶ 1 2  = (7) ;   = 3 6  no se puede calcular ya que el número decolumnas de  no coincide con el número de filas de 

⎛

(b)

Nótese que () =     

−1 0  = ⎝ 0 0 0 1 ⎛ −5   = ⎝ 3 2

⎛

⎞ ⎛ 0 5 0 −1 ⎠ ;   = ⎝ 2 4 0 −3 −1 ⎞ ⎛ 0 −5 0  1 ⎠ ; () = ⎝ 3 1 4 2 4

⎞ ⎞ ⎠ ⎠

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3. Seconsidera la matriz =

µ

7 5 −6 −4

¶



(b) Deduce que la matriz  es invertible y determina −1 Solución: a) Se comprueba fácilmente que µ ¶ 0 0 2 − 3 + 22 = =O 0 0 b) Se tiene que 2 − 3 + 22 = O ⇓  ( − 32 ) = −22 ⇓ µ ¶ 1  − ( − 32 ) = 2 2 Por tanto,  es invertible y µ ¶ µ ¶ 1 −2 −52 −1 = − ( − 32 ) = 3 72 2

(a) Calcula la matriz 2 − 3 + 22

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4. Se considera la matriz =

µ

2 1 0 0

¶



Hallar, en cada caso, todas las matrices  cuadradas tales que )  = O Solución: (a) Sea  = ¶   tal que  = O Entonces se tiene que   µ ¶µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 1   2 +  2 +  0 0  = = = = O. 0 0   0 0 0 0 ¾¾ µ )  = 

Esto implica que 2 +  = 0 2 +  = 0 =⇒
  = −2   = −2

Por tanto, todas las matrices cuadradas  tales que  = O vienen dadas por ½µ ¶ ¾ ½µ ¶ ¾ −2 −2      ∈ R =    ∈ R   −2 −2 (b) Si  =  se tiene que µ ¶µ ¶ µ ¶µ ¶ 2 1     2 1  = = =  0 0     0 0 lo cual implica que 2 +  = 2 2 +  =  0 = 2 0= ⎫ ⎪ ⎪ ⎬ =0 =⇒  = 2 +  ⎪ ⎪ ⎭ ¾...