Matrices

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE DURANGO

EDUCACIÓN A DISTANCIA

Bases ortonormales y proyecciones en Rn

Algebra Lineal 1

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Bases ortonormales y proyecciones en Rn. Conjunto ortonormal en Rn. El conjunto de vectores S = {u1 , u 2 , , u k } en Rn es un conjunto ortonormal si u i ⋅ u j = 0 si i ≠ j ui ⋅ ui = 1 Si solamente se satisfacela primera ecuación, el conjunto se llama ortogonal. Norma o longitud de un vector. Si v ∈ R n , entonces la norma o longitud de v denotada por v está dada por v = v⋅v Teorema. Si S = {v 1 , v 2 , , v k } es el conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces S es linealmente independiente. Proceso de ortonormalizacion de Gram-Schimdt. Sea H un subespacio de dimensión m de Rn. Entonces H tieneuna base ortonormal. Procedimiento Sea S = {v 1 , v 2 , , v m } una base para H. Paso 1. Sea v u1 = 1 v1 Entonces u1 ⋅ u1 = (v 1 / v 1 ) ⋅ (v 1 / v 1 ) = 1 / v 1

(

2

)(v ⋅ v ) = 1 de donde u
1 1

1

= 1.

Paso 2. Sea v '2 = v 2 − ( v 2 ⋅ u1 )u1 Entonces v '2 ⋅ u1 = v 2 ⋅ u1 − ( v 2 ⋅ u1 )(u1 ⋅ u1 ) = v 2 ⋅ u1 − v 2 ⋅ u1 = 0 , de tal forma que v '2 es ortogonal a u1 . Además por elteorema: “Si S = {v 1 , v 2 , , v k } es el conjunto ortogonal de vectores no nulos, entonces S es linealmente independiente”, u1 y v '2 son linealmente independientes y v '2 ≠ 0 . Paso 3. Sea
v '2 u2 = v2

claramente es un conjunto {u1 ,u 2 } ortonormal. Supóngase ahora que los vectores u1 , u 2 , , u k (k < m) ya han sido construidos y que forman un conjunto ortonormal. u k +1 se construyede la siguiente forma. Paso 4. Sea
v 'k +1 = v k +1 − ( v k +1 ⋅ u1 )u1 − ( v k +1 ⋅ u 2 )u 2 −  − ( v k +1 ⋅ u k )u k Entonces, para i = 1, 2, . . ., k,
Algebra Lineal 2

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v 'k +1 ⋅ u i = v k +1 − ( v k +1 ⋅ u1 )(u1 ⋅ u i ) − ( v k +1 ⋅ u 2 )(u 2 ⋅ u i ) −  − ( v k +1 ⋅ u i )(u i ⋅ u i ) −  − ( v k +1 ⋅ u k )(u k ⋅ u i ) Pero u i⋅ u j = 0 si i ≠ j y u i ⋅ u i = 1 . Así Por lo tanto u1 , u 2 , , u k , v 'k +1 es un conjunto ortogonal y linealmente independiente. Además v 'k +1 ≠ 0 . Paso 5. Sea u k +1 ≠ v 'k +1 / v 'k +1 . Claramente

{

v 'k +1 ⋅ u i = v k +1 ⋅ u1 − v k +1 ⋅ u1 = 0

}

{u , u
1

2

, , u k , u 'k +1

}

es un conjunto

ortnormal, así se continua este proceso hasta que k + 1 = m.Ejemplo. Encontrar una base ortonormal para el conjunto de vectores en R3 que están   x     sobre el plano φ =  y : 2 x − y + 3 z = 0     z     Tal y como se vio en un ejemplo anterior una base para este subespacio de dimensión 1  0   2  y v =  3 . dos es v 1 =   2   0  1     1 / 5   v1  Entonces v 1 = 5 y u1 = = 2 / 5  , para continuar, se define v1   0  v '2 = v 2 − ( v 2 ⋅ u1 )u1 1 / 5  0  6 / 5  − 6 / 5 0    v '2 = 3 − (6 / 5 ) 2 / 5  = 3 − 12 / 5 =  3 / 5           0  1  0   1   1          ' Finalmente se tiene v 2 = 70 / 25 = 70 / 5 , de tal forma que u 2 = v '2 / v '2 = − 6 / 5 − 6 / 70   3 / 5  =  3 / 70  . Así la base ortonormal es    70 / 5   1   5 / 70      Paraverificar este resultado notese que cada uno 2 x − y + 3z = 0 . 1  1 / 5   − 6 /    2 / 5 ,  3 /  0   5 /    tiene longitud 70    70   . 70    1 y satisface

Algebra Lineal 3

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Ejemplo. Construya una base ortonormal en R3 a partir de la base 1 0 1         1, 1, 0  . 0 1 1       

{v1 , v 2 , v 3 } =

1 / 2   v1  Se tiene que v 1 = 2 de tal forma que u1 = = 1 / 2  , entonces v1    0  1 / 2  0 1 / 2 − 1 / 2 0  1 − 1 1 / 2  = 1 − 1 / 2 =  1 / 2  ' v 2 = v 2 − ( v 2 ⋅ u1 )u1 =           2 1 0  1  0   1            − 1 / 2 − 1 / 6    Como v = 3 / 2 , u 2 = 3 / 2  1 / 2  =  1 / 6  ,...