Matriz de cofactores

MATRIZ DE COFACTORES

Sea A una matriz cuadrada de orden n .
Al quitarle la línea i y la columna j se obtiene una submatriz de orden n-1, que se denota habitualmente Ai, j.
Por ejemplo, con n = 4, i = 3 y j = 2:

El determinante de esta submatriz se llama la menor relativa a la casilla (i, j): M i, j = det( A i, j ) .
En el ejemplo, M3,2 = 34

El cofactor de ai, j, es decir el cofactorrelativo a la casilla (i, j) de la matriz A =( ai, j ), es la menor multiplicada por el signo (-1) i + j. Se le nota c i, j = (-1) i + j • Mi, j o ai, j con una tilde encima.
En el ejemplo, c 3, 2 = (-1)5 × 34 = -34.
La matriz de los cofactores de A se llama la comatriz de A, y se nota com A o A con una tilde encima. La comatriz sirve para calcular la matriz inversa de A, cuando existe, graciasa la relación:

A•tcom A =tcom A • A = det A• In, donde In es la matriz identidad de orden n.

Dada una matriz cuadrada A, su matriz adjunta o adj(A) es la resultante de sustituir cada término de A por sus adjuntos respectivos.
El adjunto de un término de la matriz A resulta del determinante de la submatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que pertenece eltérmino , multiplicado por ( − 1)(i + j). El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

.
Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss Jordan.

Matrices 2 x 2
Dada una matrizde 2 x 2:

Su matriz de adjuntos viene dada por:

[editar] Matrices 3 x 3
Dada una matriz de 3 x 3:

Su matriz de cofactores viene dada por:


y por lo tanto la inversa de la matriz de cofactoes es la matriz Adjunta:


Para matrices de 3x3 también puede usarse la siguiente fórmula:

Ejemplo
Un ejemplo sería el siguiente:

Matrices n x n
Para matrices con n grande el costocomputacional del cálculo de adjuntos es grande. Por lo que si el objetivo es calcular la inversa de una matriz se recurre a otros algoritmos de cálculos que no impliquen calcular primero la matriz de adjuntos. Para el cálculo de la matriz de adjuntos en el caso general puede emplearse la siguiente fórmula:

Espacios vectoriales de uso común
Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectoresque cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.
Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones nivectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.
Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a lasestructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.
Cuerpo:
Es el conjunto de números y operaciones cualquiera que deben obedecer las diezpropiedades algebraicas que mencionamos en operaciones básicas de espacios vectoriales.
Sub cuerpo:
Si se operan escalares en forma de sub cuerpo C y se operan bajo la suma y la multiplicación por un escalar estos escalares no deben salirse del sub espacio determinado y las operaciones de prueba son las mismas que se han mencionado con anterioridad.
Sub espacio vectorial:
Esto dice que si W...