Matriz nilpotente

 MATRIZ NILPOTENTE
En álgebra lineal, una matriz se dice que es nilpotente si existe
tal que.
*Teorema
Si es una matriz nilpotente entonces su determinante es cero. Queel determinante sea cero es una condición necesaria para ser una matriz nilpotente, aunque no es una condición suficiente.
*Demostración
Si A es una matriz nilpotente de orden k,
Por lo tanto:Luego: por lo que
El recíproco no es cierto: la matriz

Tiene determinante igual a cero, pero no es nilpotente. Una condición necesaria y suficiente es que la matriz no tenga auto valores diferentes decero, en ese caso la matriz es nilpotente.
Ejemplos
La matriz

es nilpotente, ya que M2 = 0. En términos más generales, cualquier matriz triangular con ceros a lo largo de la diagonal principal esnilpotente. Por ejemplo, la matriz

Es nilpotente, con

Aunque los ejemplos anteriores tienen un gran número de cero de las entradas, una típica matriz nilpotente no lo tiene. Por ejemplo, las matricesambas elevadas al cuadrado son cero, aunque ninguna matriz tiene ceros en las entradas.
*Propiedades adicionales
Si N es nilpotente, entonces I + N es invertible, donde I es la matriz identidad de ordenn (n × n). El inverso viene dado por:

Donde sólo un número finito de términos del desarrollo anterior es diferente de cero.
Si N es nilpotente, entonces

donde I es de nuevo la matriz identidad deorden n. Recíprocamente, si A es una matriz y

para todos los valores de t, entonces A es nilpotente.
Toda matriz singular (con determinante nulo) puede escribirse como producto de matricesnilpotentes.1
*Generalizaciones
Un operador lineal T es localmente nilpotente si para todo vector v, existe un k tal que

Para operadores sobre espacios vectoriales de dimensión finita, la nilpotencia localequivale a la nilpotencia convención.
MATRIZ DIAGONAL
En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas...