Matrizinversa 120405073112 Phpapp01

Matriz inversa
Método Gauss Jordan

Introducción
Matriz inversa:
Si es una matriz cuadrada, se llama matriz

inversa de A y se denota A-1 a una matriz del
mismo orden que A que verifica la siguiente
igualdad:
A. A1  A1. A  I

(Siendo I la matriz identidad
de igual orden que A)

Si una matriz posee inversa se dice que es

invertible en caso contrario se llama singular,
debido a que no todaslas matrices cuadradas
pueden tener inversa.

Ejemplo:
A. A

1

 2 1

Sea A=

1
-1 1

posible A

 I

1 0
 2 1  a  b
 1 1  . c  d   0 1

 
 


, hallar si es
Multiplico los elementos
de las filas de la primer
matriz por los
elementos de las
columnas de la
segunda y sumo los
productos:

Para la fila 1, columna
1: 2.a+(-1).c=2.a-c
Para la fila 1, columna
2:2.b+(-1).d=2.b-d
Para la fila 2, columna
1:
1.a+1.c=a+c
Ahora a partir de esto puedo armar un sistema de ecuaciones que me permita
Para la fila 2, columna
hallar A-1

 2a  c 2b  d
 a  c b  d



 1 0


 0 1

Ejemplo:
 2a  c 2b  d
 a  c b  d


 2a  c  1

 ac 0

 2 1

Sea A=

1
-1 1

posible A

 1 0

 0 1


 2b  d  0

 b  d 1
2b  d  0
b  d 1
3b  0d 1
3b  1

2a  c  1

ac 0
3a  0c  1
3a  1



a  1/ 3
c  a

b  1/ 3
d  1 b
d  1  1/ 3

c  1 / 3

d  2/3

, hallar si es

A partir de esta igualdad
podemos
deducir las siguientes
ecuaciones:
2.a-c=1
2b-d=0
 Armar
estos sistemas
a+c=0
b+d=1 de
ecuaciones…
…Y resolverlos por alguno de los métodos
vistos (suma, resta, igualación,
sustitución, etc…)

En este caso fue resuelto por lasuma de las ecuaciones del
sistema y el posterior despeje de
las incógnitas….

Ejemplo:

 2 1

Sea A=
, hallar si es

1 -1 1
posible A
Ahora que se el valor de mis incógnitas las ubico en la matriz y
verifico que sea la matriz inversa de A

A. A

 2
 1


1

 I

1  a  b
1  . c  d 
 


 2 1
 1 1



 1
 3
.
 1
 3

1
1 0
3 
 

0 1
2 
3

Para la fila 1,columna
2.(1/3)+(-1).(-1/3)= 1
Para la fila 1, columna
2.(1/3)+(-1).(2/3)=0
Para la fila 2, columna
1.a+1.c=a+c
Para la fila 2, columna
1.b+a.d=b+d
 El resultado coincide
con los valores de la
identidad…

1:
2:
1:
2:

Ejemplo:

 2 1

Sea A=

1
-1 1

posible A

, hallar si es

… lo que significa que hemos encontrado la matriz
inversa de A

 1

3
1
A 
 1
 3

1
3

2
3

Elmétodo recién explicado resulta sencillo

con una matriz de 2x2 pero al querer aplicarlo
en matrices mas grandes se hace mas
complicado el despeje de las incógnitas….
… es por ello que veremos el método Gauss
Jordan.

Método Gauss Jordan.

 1 0 1


 1 2 2
 2 1 1



Preparación de la matriz:

A=

Para facilitar el entendimiento del método utilizaremos una grilla…
1. En la parteizquierda de la grilla ingresamos los elementos de
nuestra matriz en orden y respetando su ubicación original
A

I

1

0

1

1
2

2
1

2
1

1
0
0

0
1
0

0
0
1

2. Mientras que en la parte izquierda ingresamos los valores de la
matriz identidad

Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
1. Se elige como pivote cualquier elemento no nulo
de la matriz dada, y se divide por él la filacorrespondiente.
En este caso elijo el 1
para ahorrar cuentas,
ya que debo dividir
cada elemento de la
fila por el numero que
elijo.
Por lo tanto, debido a
que elegí el 1 se
mantienen los valores
de la fila

A

I

1

1

0

1
2

2 2
1 1

1

0

1

1
0
0

0
1
0

0
0
1

1

0

0

Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
2. Los restantes elementos de la columna del
pivote se transforman en cero.
AI

1

1

0

1
2

2 2
1 1

1

0

0
0

1

1
0
0

0
1
0

0
0
1

1

0

0

Método Gauss Jordan.
Mecánica del procedimiento:
3. El transformado de todo elemento que no figure en la fila ni en
la columna del pivote se determina por la regla del rectángulo
Seleccionamos el
elemento a
transformar
Entre el pivote y el
elemento
seleccionado hay un
rectángulo
imaginario
Siendo la diagonal
la línea...