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La forma canónica de la ecuación de una elipse de centro y ejes mayor y menor de longitudes y respectivamente, con , es
Los focos están en el eje mayor a unidades del centro con ,y el eje mayor es horizontal.En el caso de que el eje mayor sea vertical la ecuación toma la forma:

 
Observación : la demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y la fórmula dedistancia (figura 2).

Simplificando

Pero, y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse
La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada.

  |  Definición (excentricidad) |
  | La excentricidad de una elipse está dada por el cociente |

Ejemplo 1
Hallar la ecuación canónica de laelipse

Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.
Solución
Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables e .

De donde obtenemos que el centro es , el valor de ( es la longitud mayor, esto nos dice que la elipse es vertical), el valor de y el valor de está dado por :

Y así, los focos estándados por y los vértices po . Por último, la excentricidad es

La gráfica se muestra en la figura 4.

Ejemplo 2
Hallar la ecuación canónica de la elipse con vértices en y eje menor de longitud .
Solución
Como la longitud del eje menor es de unidades, entonces . Como los vértices están en y , entonces el centro está en , el eje mayor de la elipse es vertical y .Con lo cual

Por último,la excentricidad es y la ecuación canónica es

Los focos están en . La gráfica de la elipse se muestra en la figura 5.

Figura 5

Ejemplo 3
Determine la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos .
Solución Suponga que el centro de la elipse es . Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación debe ser:
Si la elipse tiene ejehorizontal su ecuación tiene la forma:

Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema:
(1) Si
(2) Si
(3) Si
(4) Si
De (3) y (4) obtenemos (5)
De (1), (2) y (5) tenemos que

Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal que pase por esos.
Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuación tiene la forma:

Sustituyendo cada uno de losobtenemos el siguiente sistema:
(6) Si
(7) Si
(8) Si
(9) Si
De (6) y (7) tenemos (10)
De (8) y (9) tenemos (11)
De (6), (8), (10) y (11) tenemos y y .
Con lo cual la ecuación de la elipse es:
(7) Si

Ecuaciones Analíticas de la Elipse 
Caso 1. Elipses con focos. F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0 
Eje mayor: Longitud 2a (2a > 0) 
Eje menor: Longitud 2b (2b > 0) 
  TEOREMA: 
La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(-c, 0) y F(c, 0), eje mayor 2a, y eje menor 2b, (fig. 6.2.3.) viene dada por: 
(1) 
| |
                                       fig. 6.2.3.                                                     fig. 6.2.4. 
Demostración 
Si p(x, y) es un punto que pertenece a la elipse considerada, se tiene de acuerdo a la definición i que , oequivalentemente,(fórmula de distancia entre dos puntos) 
Transponiendo el primer radical al segundo lado y elevando ambos miembros al cuadrado, se obtiene:  
Simplificando la última igualdad se llega a: 
 

Al elevar nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última ecuación, se obtiene: 
 
La cual se reduce a: 
 
Recordando además que  y al dividir ambos miembros de la últimaigualdad por , se obtiene finalmente :  que corresponde a la ecuación pedida. 
 
 

Caso 2. Elipses con focos F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0 
Eje mayor: Longitud 2a (a > 0) 
Eje menor: Longitud 2b (b > 0) 
 
TEOREMA: 
La ecuación de la elipse con focos en los puntos F’(0, -c) y F(0, c), eje mayor 2a, y, eje menor 2b (fig. 6.2.4.), viene dada por:  
(2) 
Demostración: ...