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1. Area de una Superficie

Integrales de
Superficie.
Teoremas de
Stokes y de
Gauss

La idea para calcular el ´area de una superficie es sub-dividirla en regiones bastante peque˜nas
como para suponer que son planas, y aproximar el valor del ´area como la suma de esas regiones
planas.
Para ver a qu´e f´ormula nos lleva este procedimiento, consideramos una superficie regular y
simple en R3 , y Γ : T−→ R3 una parametrizaci´on de S.
Si realizamos una partici´on de T , obtenemos una “partici´on” de la superficie en regiones casi
rectangulares. Sea R uno de los rect´angulos de la partici´on, de v´ertices
(u0 , v0 ), (u0 + h, v0 ), (u0 , v0 + j), (u0 + h, v0 + j) .
Aproximamos el ´area de Γ(R) por el ´area del paralelogramo de lados los segmentos
Γ(u0 , v0 ), Γ(u0 + h, v0 )
y
Γ(u0 , v0 ), Γ(u0 ,v0 + j)
como el producto vectorial de los dos vectores:

Γ(u0 , v0 + j)

S
Γ(R)
Integrales de
Superficie.
Teoremas de
Stokes y de
Gauss

Γ(u0 + h, v0 + j)

Γ(R)
Γ(u0 , v0 )
Γ(u0 + h, v0 )
(u0 + h, v0 + j)

(u0 , v0 + j)

R

R
T

(u0 , v0 )

(u0 + h, v0 )

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−−−−−−−−−−−−−→
a(Γ(R)) ∼ (Γ(u0 + h, v0 ) − Γ(u0 , v0 )) × (Γ(u0 , v0 + j), Γ(u0 , v0 )) =
=
Integrales deSuperficie.
Teoremas de
Stokes y de
Gauss

i
γ1 (u0 + h, v0 ) − γ1 (u0 , v0 )
γ1 (u0 , v0 + j) − γ1 (u0 , v0 )

j
γ2 (u0 + h, v0 ) − γ2 (u0 , v0 )
γ2 (u0 , v0 + j) − γ2 (u0 , v0 )

k
γ3 (u0 + h, v0 ) − γ3 (u0 , v0 )
γ3 (u0 , v0 + j) − γ3 (u0 , v0 )

donde Γ(u, v) = (γ1 (u, v), γ2 (u, v), γ3 (u, v))
En cada coordenada podemos aplicar el teorema del valor medio, de modo que

γi (u0 + h, v0 ) − γi (u0 , v0 )=

dγi
(si , v0 ) · h
du

con si ∈ [u0 , u0 +h], y utilizando la continuidad de las derivadas parciales de Γ podemos aproximar
el valor de la derivada en el punto (si , v0 ) por la derivada el el punto (u0 , v0 ), de modo que
γi (u0 + h, v0 ) − γi (u0 , v0 ) ∼

dγi
(u0 , v0 ) · h
du

An´alogamente,
γi (u0 , v0 + j) − γi (u0 , v0 ) =
(con ti ∈ [vo , vo + j]) y

dγi
dγi
(u0 , ti ) · j ∼
(u0 , v0 ) ·j
dv
dv

a(Γ(R)) ∼
Integrales de
Superficie.
Teoremas de
Stokes y de
Gauss

i

j

k

dγ1
(u0 , v0 ) · h
du
dγ1
(u0 , v0 ) · j
dv

dγ2
(u0 , v0 ) · h
du
dγ2
(u0 , v0 ) · j
dv

dγ3
(u0 , v0 ) · h
du
dγ3
(u0 , v0 ) · j
dv

i

j

k

=

dγ1
(u0 , v0 )
du
dγ1
(u0 , v0 )
dv

dγ2
(u0 , v0 )
du
dγ2
(u0 , v0 )
dv

dγ3
(u0 , v0 )
du
dγ3
(u0 , v0 )
dv

i

j

k

=

dγ1
(u0 , v0 )
du
dγ1
(u0 , v0 )
dv

dγ2
(u0, v0 )
du
dγ2
(u0 , v0 )
dv

dγ3
(u0 , v0 )
du
dγ3
(u0 , v0 )
dv

=

· |h||j| =

· a(R) =

dΓ
dΓ
(u0 , v0 ) ×
(u0 , v0 ) · a(R)
du
dv

El ´area total de la superficie ser´a entonces
a(S) =

a(Γ(R)) =
R∈R

R∈R

dΓ
dΓ
(uR , vR ) ×
(uR , vR ) · a(R)
du
dv

siendo cada (uR , vR ) el v´ertice inferior izquierdo de R.

=

As´ı, el ´area de S es un n´umero que est´a entre las sumas superior e inferiorde Riemann de
dΓ
dΓ
la funci´on
(u, v) ×
(u, v) , que es una funci´on continua en T , y por tanto integrable. Si
du
dv
hacemos particiones de T cada vez m´as finas, estas sumas tienden a la integral, y se obtiene
Integrales de
Superficie.
Teoremas de
Stokes y de
Gauss

a(S) =
T

dΓ
dΓ
(u, v) ×
(u, v) d(u, v) =
du
dv

nΓ (u, v) d(u, v)
T

(nΓ (u, v) es el vector normal definido por Γ)
Esta ser´a laf´ormula que se utilice como definici´on de ´area de una superficie. Pero antes, una
observaci´on: aparentemente el c´alculo del ´area de una superficie depende de la parametrizaci´on Γ
que se utilice para representarla. Hay que ver que esto no es as´ı, y que el resultado de la integral
es independiente de la parametrizaci´on.
Proposici´
on. Sea S una superficie regular y simple, y sean Γ : T −→R3 y Λ : M −→ R3 dos
parametrizaciones de S. Entonces

T

dΓ
dΓ
(u, v) ×
(u, v) d(u, v) =
du
dv

M

dΛ
dΛ
(s, t) ×
(s, t) d(s, t)
ds
dt

La demostraci´on es inmediata utilizando el cambio de par´ametro entre Γ y Λ como cambio
de variable.

Definici´
on (Area de una Superficie).
Sea S una superficie regular y simple en R3 . Se define el ´area de S como
a(S) =
T

Integrales de
Superficie....