MCR03_Transfor

Motivación

Computación Gráfica
Transformaciones en 2D y 3D
Prof. María Cecilia Rivara
mcrivara@dcc.uchile.cl
Semestre 2003/2

Escalamiento
(50%)

MCRivara/Computación Gráfica/2003/2

1

Transformación

Representación vectorial / matricial
P’ P’ puntos en el plano
P = [x, y ]T P’ = [x’, y’]T

Traslación

P’ = P + T
dx
T=
d
y

S=

Traslación

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2

CoordenadasHomogéneas
• Desarrolladas en Geometría (E. A. Maxwell 1946)
P = (x, y) en IR2 → Ph = (xh, yh, w)
Representación homogénea de P, donde x = xh , y = yh
w
w

vector de traslación

P'= SP

Escalamiento

Rotación
(45º)-

•

s
0
x
matriz de escalamiento
0 s
y

P'= RP
Rotación alrededor
del origen en ángulo
cos - sen
matriz de rotación
θ (positivo en sentido R =
sen
cos
contrario punteros
reloj)
RR T = Imatriz ortogonal preserva ángulos y longitudes

•
•

Propiedades / restricciones
– Hay infinitas representaciones para un mismo punto
(2,3,6) = 4,6,12) = (1/3, 1/2, 1)
– Con frecuencia se normaliza w =1
– Al menos una coordenada es obligatoriamente ≠ 0
– El punto (x, y, 0) representa punto en el infinito en la dirección (x, y)
Estas coordenadas “homogeinizan” el tratamiento del infinito
ENCOMPUTACIÓN GRÁFICA PERMITEN EL TRATO HOMOGÉNEO
DE TODAS LAS TRANSFORMACIONES COMO MATRICES

TRASLACIÓN NO TIENE REPRESENTACIÓN MATRICIAL EN IR2

No se puede representar en base a multiplicación.

DESEABLE!

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Transformaciones Elementales 2D en
Coordenadas Homogéneas
x
y
1

Puntos P =

Traslación

1
T(dx, dy) = 0
0Escalamiento

Rotación

x’
y’
1

P’ =
0
1
0

• Se combinan las matrices elementales para producir el efecto deseado

dx
dy
1

Shearing SHx =

cosθ -senθ
senθ cosθ
0
0
1
0
0

a
1
0

0
0
1

Composición de Transformaciones 2D

Matrices 3 x3
• Se gana eficiencia usando la matriz resultante

P’= TP
T-1 = T (-dx, -dy)

Ejemplo: Rotación de un objeto alrededor de punto arbitrario P1(x1, y1)

sx 0 0
S(sx, sy) = 0sy 0
0 0 1
R (θ) =

S-1
0
0
1
Shy =

P’ = SP
= S (1/sx, 1/sy)

Pasos:
1. Traslade P1 al origen

P’= RP
R-1=RT

2. Rote alrededor del origen
3. Traslade para que el punto en el origen vuelva a P1

1
b
0

0
1
0

0
0
1

T (x1, y1) . R (θ) . T (-x1, -y1) =
3º

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4

5

2º

M

Matriz Resultante

1º

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6

1

SON CONMUTATIVAS LASTRANSFORMACIONES?
No siempre!

CUIDADO!

Son conmutativas en DOS dimensiones

Algunos textos de CG, incluyendo primera adición de Foley-van
Dam, usan la convención de premultiplicar matrices por vectores
fila

• Traslaciones entre sí
• Escalamiento entre sí

[x y 1]

• Rotaciones entre sí

x x x
x x x
x x x

• Escalamiento (sx = sy) y Rotación
Productos arbitrarios de Transformaciones

Se necesitatransponer las matrices para pasar de una convención
a la otra.

• Productos de Rotaciones preservan ángulos y longitudes
• Productos de secuencias arbitrarias de transformaciones, preservan
paralelismo de las líneas, pero no longitudes ni ángulos

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Transformaciones Elementales 3D en
Coordenadas Homogéneas

Composición deTransformaciones

x

x

Ejercicios
1. Demuestre que puede transformar un segmento de línea,

P = y → Ph =

transformando sus puntos extremos y construyendo un nuevo segmento

z

de línea entre los puntos transformados.

y
z

h
h
h

w

2. Demuestre que dos rotaciones sucesivas en 2D son aditivas:

Ph es representa ción homogénea de P

R(θ1) . R(θ) 0 R (θ1 + θ2)
3. Demuestre que en 2D, elescalamiento y la rotación conmutan si
sx = sy . y que si sx ≠ sy esto no ocurre.

donde x =

4. Encuentre una expresión para el error acumulado en θ y el número de

xh
w

h

,y =

yh
w

z
,z = h
w

Punto (0, 0, 0, 0) no se permite
Punto (a, b, c, 0) representa punto en el infinito
Transformaciones son matrices de 4x4

rotaciones incrementales realizadas

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