Mecanica de fluidos

Tema 6. Resolución de sistemas lineais de EDOs
Ecuacións Diferenciais - EUP
Andrés Prieto Aneiros

Índice
1. Sistema de ecuacións diferenciais de primeira orde

1

1.1. Redución de orde de EDOs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2. Estrutura do conxunto de solucións . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3. Wroskiano dunconxunto de funcións . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2. Resolución de sistemas de EDOs lineais con coeficientes constantes

5

2.1. Utilización da transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.2. Aplicacións na Enxeñaría Eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

I

Tema 6. Resolución de SEDOsAta o de agora, dende o Tema 1 ata o Tema 5, sempre traballamos con ecuacións diferencias
ordinarias onde había unha única variable dependente. Este tipo de EDOs non son sempre as
adecuadas para modelizar algúns sistemas físicos onde existen varias incógnitas (variables dependentes) que non se poden despexar directamente e que satisfán cadansúa ecuación diferencial
ordinaria. Este tipo desituacións son as que orixinan o estudo de sistemas de EDOs (SEDOs) e,
en particular, os SEDOs de tipo lineal.

Exemplo. Consideremos o sistema resorte-masa formado por dous corpos de masa m1 e m2 que
están unidos a dous resortes con constantes k1 e k2 , respectivamente. O sistema formado polos
dous corpos e os resortes están unidos a un soporte ríxido fixo por un dos extremos do primeiro
resorte. Sedenotamos por x1 (t) e x2 (t) aos desprazamentos dende a posición de equilibrio de
cada un dos corpos, o sistema de ecuacións diferencias ordinarias lineais que satisfán ven dado
por


2
 m d x1 = −k x + k (x − x ),
 1 2
1 1
2 2
1
dt
2x

 m d 2 = −k (x − x ).
2
2 2
1
dt2
Para obter o anterior sistema de ecuacións estase a supoñer que a forza que exerce os resortes
sobrecada un dos corpos depende linealmente da elongación do resorte (lei de Hooke) e que, en
calquera instante de tempo, existe un equilibrio de forzas entre a parte cinética asociada á masa de
cada corpo e a parte potencial que proporcionan os dous resortes.

Ao igual que no Tema 5, onde acabamos de estudar como podemos empregar a transformada de
Laplace para resolver problemas de valor inicial ede valor de contorno asociados a ecuacións diferenciais lineais con coeficientes constantes, podemos empregar tamén esta técnica para resolver
SEDOs lineais. De feito, a transformada de Laplace permitiunos resolver de forma sinxela algúns
problemas nos que os segundos membros das EDOs era descontinuos. O mesmo vai a suceder
agora cando teñamos que resolver PVIs asociados a sistemas de EDOslineais de primeira orde.

1.

Sistema de ecuacións diferenciais de primeira orde

Como acabamos de ver no exemplo anterior, un sistema de ecuacións diferenciais ordinarias non
é máis que un conxunto de EDOs con varias variables dependentes. Ao longo deste tema nos
centraremos en sistemas de ecuacións diferenciais lineais de primeira orde.
Definición 1.1. Un sistema de ecuacións diferenciaisordinarias (SEDO) lineais de primeira orde é

Andrés Prieto

1

Ecuacións Diferenciais - EUP

Tema 6. Resolución de SEDOs

aquel conxunto de EDOs lineais que se pode escribir da forma


 y1 (t) + a11 (t)y1 (t) + . . . + a1n (t)yn (t) = f1 (t),


 y (t) + a (t)y (t) + . . . + a (t)y (t) = f (t),
21
1
2n
n
2
2
 .........



yn (t) + an1 (t)y1 (t) + . . . + ann(t)yn (t) = fn (t),
onde t é a variable independente e y1 , . . . , yn son as n variables dependentes do SEDO. As funcións aij (t), con 1 ≤ i, j ≤ n, son os coeficientes do sistema de EDOs e f1 (t), . . . , fn (t) son os
coeficientes do segundo membro.
Á vista desta definición (aínda sen coñecer as técnicas propias da resolución de SEDOs), coas
ferramentas que xa coñecemos do Tema 2 e 3, podemos...