mecanica de solidos

COLUMNAS (PANDEO)

1. ESTABILIDAD DE ESTRUCTURAS

En los capítulos anteriores se ha tenido en cuenta la resistencia y deformación de los elementos para determinar sus dimensiones o las tensiones, según sea el caso. En este capítulo se estudia el caso de elementos esbeltos, los cuales pueden fallar con tensiones muy bajas, debido a falta de equilibrio. Para entender el problema de laestabilidad haremos la analogía siguiente:

P Supongamos las dos barras de la figura,
Conectadas en el centro mediante un pasador,
donde, además existe un resorte de torsión de
constante k. Si las cargas están perfectamente
alineadas, las dos barras permanecerán rectas.
L/2 Ahora tiramos del pasador que contiene el
resorte hacia la derecha; entonces, si el resor-te tiene suficiente capacidad, la estructura
L/2 puede volver o no a su posición inicial. En el
primer caso, se dice que hay estabilidad; en el
segundo caso, el sistema es inestable.

Figura1
2. DEFINICIONES BASICAS

2.1 RADIO DE GIRO
El radio de giro, k, de un área es:
, donde I es el momento de inercia mínimo del área, y A es el área.
2.2 RELACION DEESBELTEZ
Se define la relación de esbeltez, RE, por:
, donde L es la longitud de la columna, y k es el radio de giro.
2.3 CONDICIONES DE APOYO
Si las condiciones de apoyo en los extremos son diferentes a las consideradas en la figura 1 (articulada en ambos extremos), se define la longitud efectiva o equivalente como:
Lef = *L
Donde, L es la longitud real de la columna y  es un factorque varía entre 0,5 y 2, dependiendo de las condiciones de apoyo, como se muestra en la tabla siguiente.

TIPO DE APOYO
VALOR DE 
Articulado en ambos extremos (Fig. 1)
1
Empotrado en ambos extremos
0,5
Empotrado en un extremo y articulado en el otro
0,707
Empotrado en un extremo y libre en el otro
2

Considerando los diferentes tipos de apoyo, podemos definir ahora la Relación deEsbeltez efectiva o equivalente, REef de la forma siguiente:


3. FORMULA DE EULER
Euler dedujo una expresión que permite determinar la carga crítica, es decir, la carga que producirá la falla por pandeo de dicho elemento. Para obtener esta ecuación, llamada Fórmula de Euler, estudiemos la figura 2, en la que se muestra una columna deformada por la acción de la carga de compresión P.
PP





V
x M = - Py





y
Figura 2

Haciendo uso de la ecuación obtenida para el cálculo de deflexiones, se obtiene:
, o bien,
La anterior es una ecuación diferencial homogénea lineal, de segundo orden, con coeficientes constantes. Haciendo:

la solución de la ecuación diferencial es:
y = C1sen(px) + C2cos(px)Aplicando las condiciones de borde:
En x = 0, y = 0, por consiguiente, C2 = 0;
En x = L, y = 0,es decir, C1sen(pL) = 0, de donde sen(pL) = 0, y, (pL) = n
Por lo tanto:

El menor valor de n distinto de cero, es decir, n = 1, determina la carga crítica de Euler, Pcrit.

La anterior es la fórmula de Euler, en cuya deducción se han supuesto apoyos articulados en ambos extremos. En el casode tener otro tipo de apoyos, de debe reemplazar la longitud real L, por la longitud efectiva o equivalente Lef, obteniéndose la expresión siguiente para Pcrit.

Si consideramos que I = k2A, e introducimos este valor en la fórmula de Euler, se obtiene:

donde A es el área, y RE es la relación de esbeltez, ya definidas.
La anterior es la carga que produce la falla por pandeo, porconsiguiente, la carga admisible la obtenemos dividiendo Pcrit por un Factor de Seguridad FS.

Los valores habituales de FS son de tres o más, dependiendo de las condiciones y seguridad exigidas al diseño.
La tensión crítica crit para la carga crítica de Euler la obtenemos simplemente cambiando de lado el área en la fórmula de Euler. Así:

De nuevo, la tensión admisible se obtendrá la dividir la...