mecanica

TEMA I: ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE
ORDEN SUPERIOR Y COEFICIENTES CONSTANTES

1.

Introducci´n
o

Comenzaremos introduciendo algunos ejemplos en los que comparecen ecuaciones diferenciales lineales
de orden superior y coeficientes constantes, para luego pasar a estudiar su resoluci´n.
o

1..1

Vibraciones Mec´nicas
a

En la vida cotidiana aparacen diversos ejemplos devibraciones mec´nicas: autom´viles al circular por
a
o
suelo irregular, obras arquitect´nicas sometidas a fuerzas exteriores, problemas de aeron´utica. etc.
o
a
Para llegar a entender este tipo de movimientos se suele empezar estudiando un sistema muy
sencillo, consistente en un resorte en espiral uno de cuyos extremos est´ fijo en un punto y en el otro
a
est´ suspendido un cuerpo con unadeterminada masa.
a

Para el estudio de este sistema recordemos dos leyes f´
ısicas fundamentales.
• Ley de Hooke: en un sistema resorte-masa la fuerza de restituci´n, opuesta a la direcci´n del
o
o
alargamiento del resorte, es de magnitud proporcional al valor del alargamiento.
Ejemplo: si un cuerpo de 2 Kg de masa estira el resorte 6 cm entonces el resorte ejerce una
fuerza 6k con k > 0.Adem´s se puede calcular k teniendo en cuenta que en la posici´n de
a
o
1

equilibrio el peso y la fuerza de restituci´n son iguales en m´dulo y de sentidos opuestos, por lo
o
o
9.81
que 2 × 9.81 = 6k, por tanto k =
.
3
• Segunda Ley de Newton: si la masa de un cuerpo es constante, F = m × a.
Consideramos x(t) la posici´n en el instante t de la masa, partiendo de que x(0) = 0 es elo
punto de equilibrio, es decir, entendemos x > 0 cuando la posici´n del objeto est´ por debajo de la de
o
a
equilibrio y x < 0 cuando est´ por encima.
a
Analicemos ahora las distintas fuerzas que act´an sobre la masa m.
u
• Gravedad: fuerza dirigida hacia abajo de magnitud F1 = m × g.
• Fuerza de restituci´n: fuerza hacia arriba ejercida por el resorte y que es proporcional al alargaomiento. Si tomamos l como el alargamiento inicial, es decir, en la posici´n de equilibrio, en cada
o
instante t el alargamiento ser´ (l + x), luego F2 = −k(l + x) = −kl − kx. Pero en la posici´n de
a
o
equilibrio esta fuerza es igual, en magnitud, al peso kl = mg. Por lo tanto F2 = −kx − mg.
• Fuerza de amortiguaci´n: fuerza de resistencia del medio. Supondremos que es proporcional a
o
dxla velocidad de la masa, pero en direcci´n opuesta a ´sta F3 = −b , b > 0; (b ≡ cte de
o
e
dt
amortiguaci´n).
o
• Fuerzas externas: todas las fuerzas externas que act´an sobre la masa (magn´ticas y de otros
u
e
tipos) F4 = f (t). Para simplificar supondremos que s´lo dependen del tiempo y no de la posici´n.
o
o

La trayectoria de la masa verifica entonces:
m

dx
d2 x
= F1 + F2 + F3+ F4 = mg − kx − mg − b
+ f (t),
2
dt
dt

de donde se obtiene la ecuaci´n diferencial de segundo orden
o
m

d2 x
dx
+b
+ kx = f (t).
2
dt
dt

Seg´n los valores de b y f (t) se distinguen los siguientes casos:
u
1. b = 0, f (t) = 0. Sistema libre no amortiguado. Produce el movimiento arm´nico simple. El
o
objeto no se para.
2. b > 0, f (t) = 0. Sistema libre amortiguado
2(a) Si b2 < 4mk, movimiento oscilatorio o subamortiguado. El objeto oscila cada vez menos.
(b) Si b2 = 4mk, movimiento cr´
ıticamente amortiguado. El objeto no oscila.
(c) Si b2 > 4mk, movimiento sobre amortiguado. El objeto no oscila.

En cualquiera de los casos anteriores f (t) ≡ 0 con lo que la ecuaci´n diferencial se reduce a
o
m

d2 x
dx
+b
+ kx = 0.
2
dt
dt

Si nosplanteamos c´mo deben ser las funciones soluci´n de esta ultima ecuaci´n, no ser´ muy
o
o
´
o
ıa
descabellado pensar que han de ser exponenciales o trigonom´tricas, pues la ecuaci´n nos dice que no
e
o
debe haber mucha diferencia entre la funci´n x(t) y sus derivadas.
o
Ejemplos:
•

d2 x
dx
+ 25x = 0;
+8
2
dt
dt

•

d2 x
dx
+ 25x = 0;
+ 10
dt2
dt

2.
2..1

x1 (t) =...