Mecatronica

C A PÍTU LO

5
Aplicaciones de ED de segundo orden












5.2.3 Vibraciones forzadas

Los sistemas estudiados hasta ahora exhiben una dinámica que depende de ciertas constantes intrínsecas al sistema, es decir, las únicas fuerzas que actúan son internas al sistema. Supondremos en esta sección que se aplica una fuerza externa llamada de excitación FE sobre elsistema masa-resorte-amortiguador (véase la siguiente figura):


x0

k
FE
c m




En este caso la fuerza total ejercida sobre la masa está dada por

dx
F D FR C FA C FE D kx c d t C FE :

Usando nuevamente la segunda ley de Newton, obtenemos la ED que modela el sistema.





Esta ecuación se puede reescribir como


d 2 x m d t 2d 2 x


dx
D kx c d t


dx


C FE :



o bien en la forma:

m d t 2

C c d t

C kx D FE : (5.1)



1. canek.azc.uam.mx: 23/ 9/ 2010

mx 00.t / C cx 0.t / C kx .t / D FE :


1




La fuerza de excitación desempeña un papel diferente al de las otras fuerzas internas delsistema, pues a veces provoca una reducción de la velocidad y en otras provoca un aumento. Es decir, la fuerza de excitación puede reducir o aumentar la energía cinética del sistema. Cuando la fuerza de excitación sea distinta de cero, diremos que el sistema masa-resorte-amortiguador está forzado.
Hasta este momento la fuerza FE puede ser de cualquier tipo y para determinar sus efectostendremos que
resolver la ecuación diferencial (5.1) por cualquiera de los métodos estudiados hasta ahora. Sin embargo, cuando la fuerza FE es del tipo sinusoidal
FE D F0 cos we t ;

suelen ocurrir fenómenos físicos de interés. En este caso la ecuación por resolver es
mx 00.t / C cx 0.t / C kx .t / D F0 cos we t :

La ecuación característica es, entonces:



cuyas raíces son

mr2 C c r C k D 0;

c ˙ p

4mk

r1;2
2m
y la solución x .t / dependerá de la relación que exista entre r1;2 y we .

Vibraciones forzadas, caso c ¤ 0

Consideremos que la fuerza de excitación es una función sinusoidal del tipo FE D F0 cos we t . Claramente, si c ¤ 0, ninguna de las dos raíces de la ecuación característica es igual a i we . Entonces de acuerdo con elmétodo de coeficientes indeterminados, la solución particular es
xp .t / D A sen we t C B cos we t : (5.2) Calculando la primera y segunda derivadas, obtenemos la velocidad y la aceleración de la masa.
p .t / D vp .t / D Awe cos we t B we sen we t I
x 002 2
p .t / D ap .t / D Awe sen we t B we cos we t :
Usando estos dos resultados en (5.1), la ecuación diferencial de movimiento, se obtiene:
mw2 ŒA sen we t C B cos we t  C cwe ŒA cos we t B sen we t C k ŒA sen we t C B cos we t  D F0 cos we t :
Agrupando términos en las funciones cos we t y sen we t :
mw2 B C cwe A C kB cos we t C mw2 A cwe B C kA sen we t D F0 cos we t :
ee
Las funciones cos we t y sen we t son linealmente independientes; entonces, para que se satisfaga la condición anterior, sólo se requiere que

( e (cwe A C k mw2


B D F0 I

mw2 A cwe B C kA D 0 )

k mw2

A cwe B D 0:


Aplicando la regla de Cramer encontramos la...