Medio ambiente

Multiplicadores de LaGrange
En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange, nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange son un método para trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyasecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita,encontrar las condiciones para que la derivada con respecto a las variables independientes de una función sea igual a cero.

Ejemplo
Supongamos que queremos encontrar la distribución probabilística discreta con máxima entropía. Entonces

Evidentemente, la suma de estas probabilidades debe ser exactamente igual a 1, por lo tanto nuestra restricción es g(p) = 1 con

Podemos usar los multiplicadoresde Lagrange para encontrar el punto de máxima entropía (dependiendo de las probabilidades). Para todo k desde 1 hasta n, necesitamos

lo que nos da

Derivando estas n ecuaciones, obtenemos

Esto muestra que toda pi es igual (debido a que depende solamente de λ). Usando la restricción ∑k pk = 1, encontramos

Esta (la distribución uniforme discreta) es la distribución con la mayor entropía.EJERCICIOS:
1. Hallar el volumen máximo de un paralelepípedo rectangular sabiendo que la suma de las longitudes de las aristas es 36
Puede tener 3 lados diferentes, x, y, z
V = x · y · z
4 x + 4y + 4z = 36
x + y + z - 9 = 0
∂∂X (V + λ (x + y + z - 9)) = yz + λ = 0
∂∂Y (V + λ (x + y + z - 9)) = xz + λ = 0
∂∂Z (V + λ (x + y + z - 9)) = xy + λ = 0
∂∂⅄ (V + λ (x + y + z - 9)) = x + y + z - 9 = 0
x = y = z= 3
2. Hacer el máximo o el mínimo Z = XY sujeta a la condición X² + Y² = 1
∂∂X (Z + λ (x² + y² - 1)) = y + 2λx = 0
∂∂y (Z + λ (x² + y² - 1)) = x + 2λy = 0
∂∂⅄ (Z + λ (x² + y² - 1)) = x² + y² - 1 = 0
Y/x = x/y
X² = y² = ½
Dos soluciones
x = y = (2)/2
x = y =- (2)/2

EXTREMOS ABSOLUTOS DE UNA FUNCIÓN

Extremos absolutos: Son los valores más grande y más pequeño de una función en un intervalodado, si es que existen.

Definición: Sea I un intervalo cualesquiera que contenga a . Se dice que:
es máximo absoluto de en I para toda x en I
es mínimo absoluto de en I para toda x en I

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a a b c a b c
Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3 Gráfica 4

* En la gráfica 1 es mínimo absoluto de en el intervalo . Notiene máximo absoluto porque la función viene del infinito y se va al infinito.
* En la gráfica 2 es máximo absoluto de en el intervalo . No tiene mínimo absoluto porque no está definida la función en a y en c. Es decir cada vez que x está más cerca de a por su derecha, la función está más cerca de , pero nunca llega a tomar ese valor. Lo mismo sucede cuando x está cada vez más cerca c por suizquierda.
* En la gráfica 3 es mínimo absoluto y es máximo absoluto de en .
* En la gráfica 4 la función no tiene ni máximo ni mínimo absolutos porque viene del menos infinito, se va al infinito, regresa del menos infinito y finalmente se va al infinito.

Teorema del valor extremo: Si una función es continua en un intervalo cerrado, entonces la función tiene necesariamente un valormáximo y un valor mínimo absolutos en ese intervalo.

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a b c d a b c d a b c d
Gráfica 1 Gráfica 2 Gráfica 3

En la gráfica 1 es mínimo absoluto y es máximo absoluto de en el intervalo .
En la gráfica 2 es mínimo absoluto y es máximo absoluto de en el intervalo .
En la gráfica 3 es mínimo absoluto y es máximo absoluto de...