Membrana rectangular

FACULTAD:
INGENIERÍAS
* Carrera:

ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
* Integrantes:
Pedro Jara
Pablo Auquilla
Edgar Quizhpi
* Materia:
Matemáticas Avanzadas

* Grupo:
# 3

* Docente:
Ing. Diego Chacón

* Ciclo:
Septiembre 2010 – Febrero 2011

CUENCA - ECUADOR
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN DE MATEMÁTICAS AVANZADAS
TEMA:
MEMBRANA RECTANGULAR

OBJETIVOS:* Concepto de membrana rectangular
* Casos de membrana
* Pasos para su cálculo
* Ejemplos
DESARROLLO:
Introducción
Las membranas son las que trabajan a tracción, puesto que, dado su mínimo espesor, carecen de rigidez a flexión. La compresión es un esfuerzo que va asociado a dicha rigidez y así las estructuras que, en paralelo, admiten tal esfuerzo son las láminas. Las láminas sonsuperficies materiales de espesor pequeño pero no mínimo, con cierta rigidez, donde normalmente aparecen flexiones junto con los esfuerzos de membrana.

Concepto de membrana rectangular
Las membranas son estructuras que conforman una superficie en el espacio, con espesor mínimo. Dicho del modo más sencillo, las membranas son superficies materiales, los objetos que más se aproximanmaterialmente a una superficie geométrica. Las membranas trabajan sólo mediante esfuerzos en las direcciones tangentes a su superficie media. Estos esfuerzos, de compresión o tracción, son los esfuerzos de membrana.

Estudio matemático de la membrana rectangular
Condiciones iniciales
Para resolver el problema de una membrana vibrante, hay que determinar una solución u(x,y,t) de la ecuación bidimensionalde onda:

∂2u∂t2=c2∂2u∂x2+∂2u∂y2 (1)

Satisfacemos la condición en la frontera

u=0 (2)

Sobre la frontera de la membrana, para toda t≥0

Y las dos condiciones iniciales

ux,y,0=f(x,y) (3)

Que es el desplazamiento inicial dado f(x,y)

Y

∂u∂tt=0=gx,y (4)

Que es la velocidad inicial dada g(x,y)

Todas estas condiciones son semejantes a las de la cuerdavibrante

Casos de membrana

* Membrana rectangular R

figura (1)

* Membrana circular R

figura (2)

En este caso vamos a estudiar la membrana rectangular.

PASOS

Primer paso: Aplicando el método de separación de variables, en primer lugar se determinan soluciones de (1) que satisfagan la condición en la frontera (2).

Partimos de:

ux,y,t=Fx,yG(t) (5)Sustituyendo esto en la ecuación de onda (1), se tiene

FG=c2FxxG+FyyG

Donde los subíndices denotan derivadas parciales y los puntos, derivadas con respecto a t. Para separar las variables, se dividen ambos miembros entre c2FG.

Gc2G=1FFxx+Fyy

Dado que las funciones de la izquierda de la ecuación sólo dependen de t, mientras que las de la derecha no dependen de esta variable, las expresiones deambos miembros deben ser iguales a una constante. Sólo los valores negativos de esa constante conducirán a soluciones que satisfagan (2), sin ser idénticamente cero; esto es semejante al procedimiento de separación de variables (el método del producto). Si denotamos esta constante negativa por -v2, se tiene

Gc2G=1FFxx+Fyy=-v2

A partir de ésta se obtienen dos ecuaciones, la ecuacióndiferencial ordinaria

G+λ2G=0 donde λ=cv (6)

Y la ecuación diferencial parcial

Fxx+Fyy+v2F=0 (7)

Se considerará (7) y se aplicará el método de separación de variables una vez más, es decir, se determinarán soluciones de (7) de la forma

Fx,y=HxQ(y) (8)

Que sean cero sobre la frontera de la membrana. Se sustituye (8) en (7):

d2Hdx2Q=-Hd2Qdy2+v2HQ

Para separar las variables,se dividen ambos miembros entre HQ, hallando

1Hd2Hdx2=-1Qd2Qdy2+v2Q

Las funciones de la izquierda sólo dependen de x, mientras que las de la derecha sólo dependen de y. De donde, las expresiones de los dos miembros deben ser iguales a una constante. Esta constante debe ser negativa, por ejemplo -k2, debido a que sólo los valores negativos conducirán a soluciones que satisfagan (2) sin ser...