Met2ClsApl1ord 1

M´
etodos Matem´
aticos 2
Aplicaciones de Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
de Primer Orden
L. A. N´
un
˜ ez*
Centro de Astrof´ısica Te´orica,
Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias,
Universidad de Los Andes, M´erida 5101, Venezuela
y
Centro Nacional de C´alculo Cient´ıfico
Universidad de Los Andes (CeCalCULA),
Corporaci´on Parque Tecnol´
ogico de M´erida,
M´erida 5101, VenezuelaM´erida, Septiembre 2003. Versi´on α

´Indice
1. Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo.

2

2. La Ecuaci´
on log´ıstica o Ley de Verhulst

4

3. La Ley de Enfriamiento de Newton

5

4. Inter´
es Compuesto.

6

5. Mec´
anica Elemental.
5.1. Movimientos con Acelaraci´on Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2. Fricci´on en Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .

8
8
8

*

e-mail: nunez@ciens.ula.ve

1

5.3. Fuerzas El´asticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Sistemas de Masa Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. Un Cohete en Movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6. Modelado de Concentraci´
on/Desliemiento de Soluciones

1.

10
11
1214

Ley de Malthus/Decaimiento Radioactivo.
Malthus1
d
y(x) = k y(x)
dx

k>0
k<0

y(0) = y0 .

(1)

y(t) = y0 ek t
Para k < 0 tenemos una situaci´on de decaimiento: la poblaci´on decrece con el tiempo. Este
concepto se utiliza los procesos de decaimiento radiactivo. El tiempo de vida media se define
como el tiempo necesario para que la mitad de los n´
ucleos decaigan, lo cual es independiente
de lacantidad de la muestra y permite medir la edad de todo aquello que contenga is´otopos
radioactivos. En particular el C14 del cual se sabe que: tiene una vida media de 5730 a˜
nos y
que todos los organismos est´an (o estuvieron) formados por carbono. Por lo tanto, si sabemos
el porcentaje de C14 en una muestra, digamos el 63 % podremos inferir su edad
y(0) = 1
y(5730) = ek 5730 =
Por lo tanto,despejando k
k=

1
2

− ln 2
5730

tendremos finalmente
y(t) = 2−t/5730
de aqu´ı obtendremos la edad en a˜
nos de la muestra
y(t) = ,63 ⇒ t = −

ln 0,63
5730 ≈ 3819,48
ln 2

1

En honor al economista pol´ıtico ingl´es Thomas Robert Malthus (1766-1834). Quien fue uno de los primeros
˜ la poblaci´on crece como una raz´on geom´etrica mientras que los medios de subsistencias
en darse cuenta queN
crecende manera aritm´etica. Esta afirmaci´on plasmada en su Ensayo sobre el Principio de Poblaciones, el cual
inspir´o a Darwin en la formulaci´on de principio de selecci´on natural. Malthus, muy religioso y creyente pensaba
que esa diferencia en el crecimiento de la poblaci´on y las necesidades que ellas generaban, er´an de procedencia
divina y que forzar´ıa a la humanidad a ser m´as laboriosa eingeniosa para lograr los medios de subsistencia.
Darwin, no tan religioso, lo formul´o como una situaci´on natural presente en todas las especies.

2

Decaimiento Radioactivo
Para k > 0 la ecuaci´on 1 describe el incremento poblacional. El valor de k se calcula experimentalmente (promediando sus valores para cada uno de los par´ametros). Para la poblaci´on
venezolana k = 0,018
Poblaci´on Venezolana(Millones Hab.)
A˜
no
Poblaci´on y(t) = 0,350 e0,018t
1800 (0)
0.350
0.350
1847 (47)
0.750
0.816
1873 (73)
1.000
1.302
1881 (81)
1.750
1.504
1891 (91)
2.100
1.801
1926 (126)
2.850
3.381
1936 (136)
3.200
4.048
1941 (141)
3.850
4.429
1950 (150)
4.350
5.208
1961 (161)
6.800
6.348
1971 (171)
10.800
7.600
1981 (181)
14.100
9.099

3

Poblaci´on de Venezuela desde 1800

2.

La Ecuaci´
on log´ıstica o Leyde Verhulst

Esta ecuaci´oon se utiliza para describir el crecimiento de la poblaci´on de una manera m´as
precisa que la Ley de Malthus. Esta ecuaci´on toma en cuenta le decrecimiento de la poblaci´on
con el t´ermino −y 2
y = (k − ay) y = ky − ay 2
donde k y a son constantes arbitrarias. Esta ecuaci´on es separable y la soluci´on tiene la forma
de
y
ln
=k t+C
k − ay
y por lo tanto
y(t) =

k y0...