metodo de integracion por partes



METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES

CALCULO INTEGRAL

REALIZADO POR:

EYLEEN VILLALOBOS LAVALLE
GISSELL PADILLA MONTES
JEFRY HOYOS
KANDY VIVANCO

PRESENTAR A:

LIC: HERMES LAMADRID

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS

CONTADURIA PÚBLICA NOCTURNA

UNIVERSIDAD DEL ATLANTICO

BARRANQUILLA – ATLANTICO




INTRODUCCION.


En el siguiente trabajo abordaremos el tema de integración porfracciones parciales, profundizaremos en cada uno de los métodos que influyen en este tema, y conoceremos cada una de las variables que facilitan la solución de ejercicios de integral que se resuelven por este método. Cabe resaltar que el método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utilizaprincipalmente en cálculo integral. Y el requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.














METODO DE INTEGRACION POR FRACCIONES PARCIALES.

Este método nos permitirá integrar cierta clase de funciones racionales (cociente de polinomios)

A manera de ilustración consideremos la siguiente integral:

. ∫
x2
x 
3
dx.


x −
2Obsérvese que difícilmente podríamos abordarla con alguno de los métodos que disponemos. Procederemos efectuando la división de los polinomios:



x + 3

x - 2 x2 + x + 3 -x2 + 2x

3x + 3 -3x + 6

9

Posteriormente aplicamos el algoritmo de la división y obtenemos:

x2 + x + 3 = (x - 2 ) (x + 3 ) + 9

Para obtener en el lado izquierdo de la igualdad la función que queremos integrar, dividimos en amboslados entre ( x - 2 ):
Descomponiendo de esta manera nuestra fracción "complicada" en una suma de fracciones "sencillas" a las que llamaremos fracciones parciales, las cuales son fáciles de integrar.


x 2
 x  3

9

x 2



∫


dx  ∫ (x 
3) dx  ∫

dx 

 3x  9 ln
x − 2
 c



x − 2


x − 2

2

















En general si queremos integrar un cociente de polinomios P(x) en el que el gradode P(x)
Q(x)

Es mayor o igual al grado de Q(x), procederemos como en el caso anterior, aplicando el algoritmo de la división





q(x)

Q(x) P(x) r(x)

Donde r(x) = 0 ó grad r(x) < grad Q(x)

P(x) = Q(x) q(x) + r(x)

Dividiendo entre Q(x), obtenemos:

P(x)
 q(x) 
r(x)

Q(x)

Q(x)






En donde la integral buscada,

∫
P(x)
∫ q(x) dx  ∫
r(x)




dx 


dx
con gr r(x)  gr Q(x)


Q(x)


Q(x)Se reduce a calcular la integral de un polinomio q(x) y la integral de una función racional en la cual el numerador tiene grado menos que el denominador.

A continuación describiremos varios casos de descomposición de fracciones racionales (en las cuales el polinomio del numerador tiene grado menor que el denominador) como una suma de fracciones parciales las cuales son fáciles deintegrar.




PRIMER METODO.

[Q(x) tiene todas sus raíces reales y distintas]

Cuando la factorización del polinomio Q(x) es en factores lineales y distintos, es decir:


Q(x) = (x - a1) (x - a2) (x - a3)... (x - an),


Hacemos la siguiente descomposición:










P(x)

A1

A2


A3

 ... 
An





x − a

x − a


x − a


x − a



Q(x)



2


3


n




1











Donde A1, A2, A3,... An sonconstantes reales.

Nótese que una vez efectuada la descomposición, la integración es inmediata pues:













Ak
dx 


ln

x − ak



c













































y por lo tanto:




∫ x −
ak





































































































∫
P(x)
∫
A1
dx 
∫



A2



dx  ∫

A3



dx 
...  ∫

An

dx




dx Q(x)


x − a


x −
a
2



x
−
a
3



x
− a









1



































n



P(x)
dx 
ln

x −
a


ln

x −
a
2


 ln

x −

a
3


... 
ln

x − a
n


c






































































∫ Q(x)




1














































SEGUNDO METODO.


[Q(x) tiene todas sus raíces reales pero puede haber repetidas]...