Metodo de lagrenge

AIM Quiz

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Interpolación y Aproximación
Question 1 Top 1 Bottom Focus Help

Obtener el polinomio de interpolación usando la fórmula de interpolación deLagrange con la siguiente tabla de valores, e interpolar en el punto x = −4. xk 7 −6

yk 30 −22 You have not attempted this yet The teacher's answer was: 2+4 x This can be entered as: 2+4*x

Solution:Sabemos que la fórmula de interpolación de Lagrange para los n+1 puntos (xi ,yi ), i=0,…,n, viene dada por: (ver por ejemplo el tutorial http://pcm.dis.ulpgc.es/an/tutor/lagrange.pdf)
n n

p(x) =∑
k=0

yk

∏
i=0, i ≠ k

x−xi xk −xi

n

=

∑
k=0

yk Lk (x)

Dados los puntos (x0,y0) = (7,30), (x1,y1) = (-6,-22), tenemos entonces que los polinomios de Lagrange son lossiguientes: x−x1 x0−x1

L0(x) =

= 1/13 x+6/13 = 1/13 x+6/13

L1(x) =

x−x0 x1−x0

= −1/13 x+7/13 = −1/13 x+7/13

El polinomio solución es por tanto:
1

p(x) =

∑
k=0

yk Lk (x) = 30L0(x)−22 L1(x) = 2+4 x

y la gráfica del polinomio de interpolación y de los puntos (xi ,yi ), i=0,...,1 es la siguiente:

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06/03/2010 07:13 PM

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Si en lugar de obtener el polinomio de interpolación se quiere interpolar en un punto, o sea, se quiere calcular el valor del polinomio de interpolación en un punto concreto, basta sustituirla variable "x" de la fórmula por ese valor y realizar las operaciones correspondientes. En nuestro caso, si se quiere interpolar en el punto x=−4, usando alguna de las expresiones ya vistas para Lk(x), obtenemos: L0(−4) = 2/13, L1(−4) = 11/13 y por tanto:
1

p(−4) =

∑
k=0

yk Lk (−4) = 30 L0(−4)−22 L1(−4) = −14

Si ya se tuviera el polinomio explícitamente tal como se ha calculadoaquí, en potencias de x multiplicadas por sus coeficientes, es preferible utilizar el algoritmo de Ruffini-Horner para evaluar el polinomio en los puntos deseados, ya que entonces el coste es lineal...