metodo numerico
Páginas: 6 (1456 palabras)
Publicado: 4 de mayo de 2014
EJERCICIOS RESUELTOS
Resolución de Ecuaciones No Lineales
1
Método de Bisección
1. Hallar la primera raíz de la ecuación
x cos(x)
1=0
con un error de 0:01
Solución
Para poder encontrar la primera raíz positiva, es necesario saber donde esta ubicada, lo cual
para la función
f (x) = x cos(x) |{z}
1
| {z }
G(x)
H(x)
tenemos que:
y
3
2
1
0
1
2
3
4
5-1
6
x
-2
-3
Negro: G(x) = x cos(x) ; Rojo: H(x) = 1
Entonces podemos decir que la primera raíz positiva esta en el intervalo [4; 5] :
Ahora buscaremos la cantidad de iteraciones para alcanzar la aproximación deseada, entonces:
b
a
2n
5
4
2n
1
2n
2n
n log(2)
< 0:01
< 0:01
< 0:01
> 100
> log(100)
log(100)
n >
log(2)
n > 6:64385619
Por lo tanto con n= 7 iteraciones se logra la exactitud deseada.
1
A continuación se comenzara a realizar las iteraciones
Para n = 1
Tenemos que:
a1
b1
=
=
4
5
luego
x1
a1 + b1
2
4+5
2
4:5
=
=
=
entonces comenzamos con el análisis
f (a1 ) = f (4) =
3:614574483
f (x1 ) = f (4:5) =
1:948581097
f (b1 ) = f (5) = 0:4183109273
notar que f (x1 ) f (b1 ) < 0 entonces laraíz de la ecuación se encuentra en el intervalo
[4:5; 5], entonces la tabla nos queda de la forma
n
1
2
3
4
5
6
7
an
4
4:5
xn
4:5
bn
5
5
f (an )
a2
b2
f (xn )
f (bn )
+
+
= 4:5
= 5
Para n = 2
Tenemos que:
luego
x2
=
=
=
a2 + b2
2
4:5 + 5
2
4:75
realizando el mismo análisis, como en la iteración anterior, tenemos que:
f (a2 ) = f(4:5) =
1:948581097
f (x2 ) = f (4:75) =
0:8213897798
f (b2 ) = f (5) = 0:4183109273
cabe observar que f (x2 ) f (b2 ) < 0 entonces la raíz esta en el intervalo [4:75; 5] en conse2
cuencia la tabla queda de la forma
n
1
2
3
4
5
6
7
an
4
4:5
4:75
xn
4:5
4:75
bn
5
5
5
f (an )
f (xn )
f (bn )
+
+
+
Para las iteraciones restantes, ocuando el mismoalgoritmo (misma forma de trabajo) nos
queda la tabla como:
n
1
2
3
4
5
6
7
an
4
4:5
4:75
4:875
4:875
4:90625
4:90625
xn
4:5
4:75
4:875
4:9375
4:90625
4:921875
4:9140625
bn
5
5
5
5
4:9375
4:9375
4:921875
f (an )
Por lo tanto, con un error de 0:01 la raíz aproximada de x cos(x)
x7 = 4:9140625
3
f (xn )
+
+
f (bn )
+
+
+
+
+
+
1 =0 es:
2. Dada la ecuación
1
x + arctan
p
x+1 =0
hallar una aproximación de la raíz con una cota para el error de 0:05
Solución
Para poder encontrar en que intervalo se encuentra la raíz, es necesario grá…car, lo cual tenemos
que:
p
f (x) = 1 x + arctan x + 1
p
= 1 x
arctan x + 1
| {z } |
{z
}
G(x)
H(x)
tenemos que:
y
2
1
-2
-1
1
2
3
4x
-1
-2
Negro: G(x) = 1
x ; Rojo: H(x) =
arctan
p
x+1
En consecuencia la raíz se encuentra en el intervalo [2; 3], ahora buscaremos la cantidad de
iteraciones para lograr la exactitud deseada
b
a
< 0:05
2n
3
2
2n
1
2n
2n
n log(2)
< 0:05
< 0:05
> 20
> log(20)
log(20)
>
log(2)
> 4:321928095
n
n
Por lo tanto con n = 5 iteraciones se lograla exactitud deseada. Ahora las iteraciones estan
en la siguiente tabla
n
1
2
3
4
5
an
2
2
2
2
2
xn
2:5
2:25
2:125
2:0625
2:03125
bn
3
2:5
2:25
2:125
2:0625
f (an )
+
+
+
+
Por lo tanto, con un error de 0:05 la raíz aproximada de 1
x5 = 2:03125
4
f (xn )
f (bn )
x + arctan
p
x + 1 = 0 es
2
Método de Newton - Raphson
Antes decomenzar es necesario dejar claro el Criterio de Fourier
Teorema (Criterio de Fourier)
Si f (a) f (b) < 0 y f 0 (x), f 00 (x) son no nulas y conservan el signo para todo el intervalor donde
se encuentra la raíz, el punto de partida x1 2 [a; b] tal que f (x1 ) f 00 (x1 ) > 0 entonces este punto
asegurará la convergencia del método de Newton - Raphson.
1. Determinar la raíz real de la ecuacion...
Resolución de Ecuaciones No Lineales
1
Método de Bisección
1. Hallar la primera raíz de la ecuación
x cos(x)
1=0
con un error de 0:01
Solución
Para poder encontrar la primera raíz positiva, es necesario saber donde esta ubicada, lo cual
para la función
f (x) = x cos(x) |{z}
1
| {z }
G(x)
H(x)
tenemos que:
y
3
2
1
0
1
2
3
4
5-1
6
x
-2
-3
Negro: G(x) = x cos(x) ; Rojo: H(x) = 1
Entonces podemos decir que la primera raíz positiva esta en el intervalo [4; 5] :
Ahora buscaremos la cantidad de iteraciones para alcanzar la aproximación deseada, entonces:
b
a
2n
5
4
2n
1
2n
2n
n log(2)
< 0:01
< 0:01
< 0:01
> 100
> log(100)
log(100)
n >
log(2)
n > 6:64385619
Por lo tanto con n= 7 iteraciones se logra la exactitud deseada.
1
A continuación se comenzara a realizar las iteraciones
Para n = 1
Tenemos que:
a1
b1
=
=
4
5
luego
x1
a1 + b1
2
4+5
2
4:5
=
=
=
entonces comenzamos con el análisis
f (a1 ) = f (4) =
3:614574483
f (x1 ) = f (4:5) =
1:948581097
f (b1 ) = f (5) = 0:4183109273
notar que f (x1 ) f (b1 ) < 0 entonces laraíz de la ecuación se encuentra en el intervalo
[4:5; 5], entonces la tabla nos queda de la forma
n
1
2
3
4
5
6
7
an
4
4:5
xn
4:5
bn
5
5
f (an )
a2
b2
f (xn )
f (bn )
+
+
= 4:5
= 5
Para n = 2
Tenemos que:
luego
x2
=
=
=
a2 + b2
2
4:5 + 5
2
4:75
realizando el mismo análisis, como en la iteración anterior, tenemos que:
f (a2 ) = f(4:5) =
1:948581097
f (x2 ) = f (4:75) =
0:8213897798
f (b2 ) = f (5) = 0:4183109273
cabe observar que f (x2 ) f (b2 ) < 0 entonces la raíz esta en el intervalo [4:75; 5] en conse2
cuencia la tabla queda de la forma
n
1
2
3
4
5
6
7
an
4
4:5
4:75
xn
4:5
4:75
bn
5
5
5
f (an )
f (xn )
f (bn )
+
+
+
Para las iteraciones restantes, ocuando el mismoalgoritmo (misma forma de trabajo) nos
queda la tabla como:
n
1
2
3
4
5
6
7
an
4
4:5
4:75
4:875
4:875
4:90625
4:90625
xn
4:5
4:75
4:875
4:9375
4:90625
4:921875
4:9140625
bn
5
5
5
5
4:9375
4:9375
4:921875
f (an )
Por lo tanto, con un error de 0:01 la raíz aproximada de x cos(x)
x7 = 4:9140625
3
f (xn )
+
+
f (bn )
+
+
+
+
+
+
1 =0 es:
2. Dada la ecuación
1
x + arctan
p
x+1 =0
hallar una aproximación de la raíz con una cota para el error de 0:05
Solución
Para poder encontrar en que intervalo se encuentra la raíz, es necesario grá…car, lo cual tenemos
que:
p
f (x) = 1 x + arctan x + 1
p
= 1 x
arctan x + 1
| {z } |
{z
}
G(x)
H(x)
tenemos que:
y
2
1
-2
-1
1
2
3
4x
-1
-2
Negro: G(x) = 1
x ; Rojo: H(x) =
arctan
p
x+1
En consecuencia la raíz se encuentra en el intervalo [2; 3], ahora buscaremos la cantidad de
iteraciones para lograr la exactitud deseada
b
a
< 0:05
2n
3
2
2n
1
2n
2n
n log(2)
< 0:05
< 0:05
> 20
> log(20)
log(20)
>
log(2)
> 4:321928095
n
n
Por lo tanto con n = 5 iteraciones se lograla exactitud deseada. Ahora las iteraciones estan
en la siguiente tabla
n
1
2
3
4
5
an
2
2
2
2
2
xn
2:5
2:25
2:125
2:0625
2:03125
bn
3
2:5
2:25
2:125
2:0625
f (an )
+
+
+
+
Por lo tanto, con un error de 0:05 la raíz aproximada de 1
x5 = 2:03125
4
f (xn )
f (bn )
x + arctan
p
x + 1 = 0 es
2
Método de Newton - Raphson
Antes decomenzar es necesario dejar claro el Criterio de Fourier
Teorema (Criterio de Fourier)
Si f (a) f (b) < 0 y f 0 (x), f 00 (x) son no nulas y conservan el signo para todo el intervalor donde
se encuentra la raíz, el punto de partida x1 2 [a; b] tal que f (x1 ) f 00 (x1 ) > 0 entonces este punto
asegurará la convergencia del método de Newton - Raphson.
1. Determinar la raíz real de la ecuacion...
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