Metodo simplex

Método del simplex

Es un procedimiento iterativo que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Partiendo del valor de la función objetivo en un vértice cualquiera, el método consiste en buscar sucesivamente otro vértice que mejore al anterior. La búsqueda se hace siempre a través de los lados del polígono (ode las aristas del poliedro, si el número de variables es mayor). Cómo el número de vértices (y de aristas) es finito, siempre se podrá encontrar la solución.
El método del simplex se basa en la siguiente propiedad: si la función objetivo, f, no toma su valor máximo en el vértice A, entonces hay una arista que parte de A, a lo largo de la cual f aumenta.
El método del simplex fue creado en 1947por el matemático George Dantzig .
El método del simplex se utiliza, sobre todo, para resolver problemas de programación lineal en los que intervienen tres o más variables.
El álgebra matricial y el proceso de eliminación de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales constituyen la base del método simplex.
Vamos a resolver mediante el método del simplex el siguienteproblema:
Maximizar
Z= f(x,y)= 3x + 2y
sujeto a:
2x + y 18

2x + 3y 42

3x + y 24

x0 , y 0
Se consideran las siguientes fases:
1. Convertir las desigualdades en igualdades
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, para convertirlas en igualdades, resultando el sistema de ecuaciones lineales:
2x + y + h = 18
2x + 3y + s = 42
3x +y + d = 24
2. Igualar lafunción objetivo a cero
- 3x - 2y + Z = 0
3. Escribir la tabla inicial simplex
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última fila con los coeficientes de la función objetivo:
Tabla I . Iteración nº 1
Base
Variable de decisión
Variable de holgura
Valores solución

xy
h
s
d

h
2
1
1
0
0
18
s
2
3
0
1
0
42
d
3
1
0
0
1
24
Z
-3
-2
0
0
0
0
4. Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la variable de holgura que sale de la base
A. Para escoger la variable de decisión que entra en la base, nos fijamos en la última fila, la de los coeficientes de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente negativomayor (en valor absoluto).
En nuestro caso, la variable x de coeficiente - 3.
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior, entonces se elige uno cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo, significa que se ha alcanzado la solución óptima. Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del métododel simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (En color verde).
B. Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, se divide cada término de la última columna (valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre que estos últimos sean mayores que cero. Ennuestro caso:
18/2 [=9] , 42/2 [=21] y 24/3 [=8]
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho cociente. En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero, entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica lafila de la variable de holgura que sale de la base, d. Esta fila se llama fila pivote (En color verde).
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las variables correspondientes pueden salir de la base.
C. En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote operacional, 3.
5. Encontrar los coeficientes de la nueva tabla.
Los...