Metodología

Ejercicios: Problema I

Suponga el siguiente modelo de programación lineal y resuélvalo con método gráfico y algebraico. Obtenga la solución con y sin software Win QSB del problema planteado.Generar gráfica con restricciones, ecuación objetivo, región factible y punto de maximización

Maximizar Z = 4X1 + 6 x2,

Sujeto a las siguientes restricciones:

I. 3X1 + 4X2 ≤ 20
II. 7X1 +4X2 ≤ 28
III. X1 ≤ 3
X1, X2 ≥ 0

Tomaremos la ecuación I y veremos en qué parte de los ejes cruza, la transformamos a igualdad 3x1+4x2=20 y resolvemos:

Suponemos que X2 = 0Suponemos que X1=0
3x1 + 4x2=20 3X1 + 4X2 = 20
3x1 + 4(0)=20 3(0) + 4X2 = 20
3x1 + 0 =20 0 + 4X2 = 20
X1= 20/3 X2 = 20/4
X1=6.66 X2= 5

8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tomaremos la ecuación II y veremos en qué parte de los ejes cruza, la transformamos a igualdad 7X1 + 4X2 =28y resolvemos:

Suponemos que X2 = 0 Suponemos que X1=0
7X1 + 4X2= 28 7X1 + 4X2= 28
7x1 + 4(0)=28 7(0) + 4X2 = 28
7x1 + 0 =280 + 4X2 = 28
X1 = 28/7 X2 = 28/4


8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10



Tomaremos la ecuación III yveremos en qué parte de los ejes cruza, la transformamos a igualdad X1= 3 y resolvemos:

X1 = 3

El área amarilla es la región factible.



Ahora el objetivo es encontrarel valor máximo de la región factible, por lo que nos debemos ir a la frontera superior y encontrar los valores de cada uno de los 4 vértices.


Tomamos las ecuaciones I y II
3X1 + 4X2 = 20
7X1+ 4X2 = 28
Ahora buscamos cancelar una
3x1 + 4x2 – 20 = 0 (-7)
7x1 + 4x2 – 28 = 0 (3)
Entonces;
-21x1 - 28x2 + 140 = 0
21x1 + 12x2 – 84 = 0
Queda;
28x2 + 140 = 0
12x2 – 84 = 0
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