Metodos De Biseccion

I. OBJETIVOS
* Aplicar los métodos iterativos de intervalo, específicamente el método de la bisección en la solución de ecuaciones no lineales algebraicas y trascendentes.
* Implementar programas en MATLAB que solucionen las raíces de ecuaciones algebraicas y trascendentes por medio del método de la bisección.

II. MARCO TEORICO
2.1 Introducción
En estapráctica, estudiaremosuno de los métodos para la solución numérica de ecuaciones algébricas y trascendentes no lineales, esto es, ecuaciones que se puedan escribir en la forma f(x) = 0, donde f es una función real de variable real.Todos los valores s que anulan f, esto es, tales que f(s) = 0, se llaman ceros o raíces de la función f o solución de la ecuación f(x)=0.

Figura 1 Ceros de una función- Diferentes casosPara una ecuación del tipo f(x) = 0, antes de intentar aplicar cualquier método de resolución, es importante garantizar que la ecuación tenga solución, o sea, que existe un real; s tal que f(s)=0. Muchas veces importa también determinar si la solución es única, o si existen diferentes soluciones y, en este caso, saber cual o cuales importan determinar.

2.2 Teorema de Bolzano
Dado un intervalocerrado [a,b] y una función continua f(x), existe al menos una solución a la ecuación algebraica no lineal o trascendente f(x)=0 si f(a)*f(b)0

Figura 2Aplicación del Teorema de Bolzano

El teorema de Bolzano garantiza la existencia de una raíz si existe un cambio de signo en el intervalo [a,b], pero la antítesis es falsa, sino existe un cambio de signo, también puede existir una raíz en [a,b].Los métodos numéricos que están basados en el teorema de Bolzano se denominan “métodos cerrados”, ya que exigen como argumento un intervalo cerrado donde la función experimente un cambio de signo.

2.3. Método de las Bisecciones Sucesivas

En la resolución de ecuaciones no lineales se utilizan, salvo soluciones analíticas simples, métodos iterativos que generan una sucesión de valores quetienden al valor de la raíz. Este método presenta la ventaja de acotar no sólo el valor de la función, sino también el intervalo al que pertenece la raíz. Para su aplicación es necesario que verifique las condiciones del Teorema de Bolzano, esto es, la función debe ser continua y cambiar de signo en sus extremos.Por ejemplo:Resolver en los números reales las ecuaciones:

(*)

Las gráficassiguientes ilustran mejor la situación. Indican que un problema con enunciado tan simple puede ser difícil de resolver:

Figura 3 Gráficas de las ecuaciones (*)

La primera gráfica sugiere que hay un único cero, precisamente donde ese cero está y las otras dos indican que hay alguno en cada caso, pero nada más. En realidad, sen(x) y x se encuentran en un único punto, x = 0; pero en cambio tan(x)y x se encuentran en un número infinito de puntos. Ciertamente se requiere disponer de herramientas teóricas (teoremas) y prácticas (algoritmos) para resolver problemas de esta clase.
Figura 4 Bisecciones Sucesivas

El método de las bisecciones sucesivas parte del intervalo inicial [a, b] que se sabe contiene un cero de f, supuestamente único. En cada iteración se produce la reducción delintervalo a la mitad del intervalo actual. Para lo cual, se divide el intervalo actual escogiéndose el intervalo izquierdo o derecho de forma que la función tenga signo diferente en los extremos del sub-intervalo escogido. O sea, siendo [an, bn] el intervalo de la iteración n, se calculaxn+1=12(an+bn). El valor xn+1 sustituye a an o bn de acuerdo si se cumple que f(xn+1)fbn<0 o f(xn+1)fan<0. Deesta forma, se asegura que s [an,bn] en cualquier iteración.

2.5. Algoritmo de Bisección

Método de las bisecciones sucesivas |
Inicialización | |
Repetir | 1. 2. Si Entonces Sino |
Hasta que | Verificar criterio de parada |

2.5. Error del Algoritmo de Bisección

Figura 5 Error del Método de la Bisección

Teorema 1: Sea f una función continua en el intervalo...