metodos matematicos1

´ DE DIVERSAS
RECOPILACION
DEMOSTRACIONES UTILIZADAS EN
´
METODOS MATEMATICOS

´ MENSION
´ F´ISICA Y MATEMATICA
´
EDUCACION
´
TACHIRA
2014

Introducci´
on
El siguiente documento surge como una iniciativa para ofrecer a los estudian´ F´ısica y Matem´atica y a los dem´as interesados un
tes de Educaci´on mensiOn
instrumento de complementaci´on, para la pr´actica indispensable en la catedra deM´etodos Matem´aticos. En este contexto, el buen uso que se haga del mismo permitir´a una mejor comprensi´on de la disciplina.

Aqui encontraran una serie de demostraciones utilizadas en la asignatura, la
recopilaci´on empezar´a con las demostraciones de sucesiones mon´otonas acotadas y
convergencia de una serie geom´etrica, seguidamente de la demostraci´on del l´ımite
del t´ermino N-es´ımo de una serieconvergente, el cr´ıterio de la integral, as´ı como
muchos otras demostraciones que son esenciales.

1

Contenidos
Teorema 1. sucesiones monotonas acotadas
Teorema 2. Convergencia de una serie geometrica
Teorema 3.L´ımite del t´ermino n-´esimo de una serie convergente
Teorema 4.El criterio de la integral
Teorema 5.Convergencias de series p
Teorema 6.Criterio de comparaci´on directa
Teorema7.Criterio de la serie alternante
Teorema 8.Convergencia absoluta

2

Teorema 1. Suceciones mon´
otonas y acotadas.
Si una sucesi´on {an } es acotada y mon´otona, entonces converge.
Demostraci´on:
Suponer qe la sucesi´on es creciente, para simplificar suponer que todo t´ermino de
la sucesi´on es positivo. Como la sucesi´on es acotada debe existir una cota superior
M, tal que:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤... ≤ M.
Del axioma de completitud, se sigue que existe una m´ınima cota superior L tal
que:
a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ L.
Para

> 0, se sigue que L −

< L y por consiguiente L −

no puede ser una

cota superior de l sucesi´on. Por consiguiente, por lo menos un t´ermino de {an }
es mayor que L − . Es decir L − < aN para algun entero positivo N. Como los
t´erminos de {an } son crecientes, sesigue que aN ≤ an para todo n > N .Ahora se
sabe que L− < aN ≤ an ≤ L < L+ , para todo n > N . Se sigue que |an −L| <
para todo n > N , lo cual por definici´on significa que {an } converge a L.

Teorema 2. Convergencia de una serie geom´
etrica.
Una serie geom´etrica de raz´on r diverge si |r| ≥ 1. Si 0 < |r| < 1, entonces la
serie converge a la suma
∞

a.rn =
n=1

a
, 0 < |r| < 1
1−r
3Demostraci´on:
Es facil ver que la serie diverge si r ± 1, ya que Sn = a + a + ... + a = na
Y puesto que L = l´ım Sn no existe, la serie geom´etrica diverge.
n→∞

Ahora, si r = ±1, entonces Sn = a + ar + ar2 + ... + arn−1 . Multiplicado por r se
obtiene
rSn = a + ar2 + ar3 ... + arn .
Restando la segunda ecuaci´on de la primera resulta Sn − rSn = a − arn .
Por consiguiente, Sn (1 − rn ), y la n-´esimasuma parcial es
Sn =

a
(1
1−r

− rn ).

Si 0 < |r| < 1, se sigue que rn → 0 cuando n → ∞, y se obtiene
a
a
a
l´ım Sn = l´ım
(1 − r n ) =
[ l´ım (1 − r n )] =
n→∞
n→∞ 1 − r
1 − r n→∞
1 −r
a
lo cual significa que la serie es convergente y que su suma es 1−r
.

Teorema 3. L´ımite del t´
ermino N-´
esimo de una serie convergente
∞

Si

an converge, entonces l´ım an = 0
n→∞

n=1

Demostraci´on:
Supongaque
∞

an = l´ım Sn = L
n→∞

n=1

Entonces, como Sn = Sn−1 + an y
l´ım Sn = l´ım Sn−1 = L

n→∞

n→∞

se sigue que
L = l´ım Sn = l´ım (Sn−1 + an )
n→∞

n→∞

L = l´ım Sn−1 + l´ım an
n→∞

n→∞

4

L = L + l´ım an
n→∞

Lo cual implica que {an } converge a 0

Teorema 4. El criterio de la integral.
Si f es positiva, continua y decreciente para x ≥ 1 y an = f(n) entonces
∞

∞

an y

f (x)dx
1

n=1

oambas convergen o ambas divergen.
Demostraci´on:
Comenzamos dividinedo el intervalo [1, n] en n-1 subintervalos de longitud unidad
o unitaria, como se muestra en la figura

Las a´reas totales de los rect´angulos inscritos y los rect´angulos circunscritos
son:
n

´
f (i) = f (2) + f (3) + ... + f (n) Area
inscrita
i=2
n−1

´
f (i) = f (1) + f (2) + ... + f (n − 1) Area
circunscrita
i=1

El a´rea...