Metodos Numericos

M´todos Num´ricos: Propagaci´n de ondas e e o

June 18, 2003

Enrique Zuazua Departmento de Matem´ticas a Universidad Aut´noma o 28049 Madrid, Spain enrique.zuazua@uam.es

Contents
1 Movimiento arm´nico en una dimensi´n o o 2 La ecuaci´n de ondas y sus variantes o 3 La f´rmula de D’Alembert o 4 Resoluci´n de la ecuaci´n de ondas mediante series de Fourier o o 5 Series de Fourier comom´todo num´rico e e 6 La ecuaci´n de ondas disipativa o 7 La ecuaci´n de ondas en el contexto de la Teor´ de Semigrupos o ıa 8 La ecuaci´n de transporte lineal o 9 Dispersi´n num´rica y velocidad de grupo o e 10 Transformada discreta de Fourier a escala h 3 7 11 12 18 22 28 48 66 72

11 Revisi´n de la ecuaci´n de transporte y sus aproximaciones a trav´s de la o o e transformada discreta de Fourier 7612 La ecuaci´n de ondas con coeficientes variables o 1 85

13 Semi-discretizaci´n de la ecuaci´n de ondas semilineal o o 14 Ejercicios
Abstract En estas notas recogemos de los res´menes de algunas de las clases impartidas en u el curso de doctorado 02-03 de la UAM denominado “M´todos Num´ricos” y dedicado e e esencialmente al estudio de fen´menos de propagaci´n de ondas y su an´lisis num´rico.o o a e

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Movimiento arm´nico en una dimensi´n o o

El modelo m´s simple de vibraciones es el correspondiente al de una masa puntual dea splaz´ndose a lo largo de una linea recta con una aceleraci´n orientada hacia un punto fijo a o y proporcional a la distancia a ese punto. Este es precisamente el movimiento asociado a un simple sistema masa-muelle, en el que el muelle es elresponsable de la aceleraci´n de la o masa sujeta al mismo. El movimiento descrito por la masa es lo que se denomina movimiento arm´nico simple. o Las ecuaciones que gobiernan este movimiento son mx = −kx o, mx + kx = 0. (1.2) (1.1)

En estas ecuaciones x = x(t) representa la distancia de la masa al punto fijo, m es la masa de la part´ ıcula y k es la constante de rigidez del muelle. En (1.1) yen todo lo que sigue x denota la derivada de x con respecto al tiempo. Ocasionalmente utilizaremos tambi´n otras notaciones x = dx/dt. e Introduciendo la constante ω0 = k/m (1.3) el sistema (1.2) puede ser reescrito como
2 x + ω0 x = 0,

(1.4)

cuya soluci´n general es o x(t) = A cos(ω0 t + φ). (1.5)

en esta expresi´n en la que A es la amplitud de oscilaci´n, ω0 su frecuencia y φ la faseinicial o o del movimiento, se observa que el movimiento descrito por la masa es puramente oscilante. Habida cuenta que se trata de una ecuaci´n de orden dos en tiempo, las genuinas variables o del sistema no son solamente la posici´n x = x(t) de la masa sino tambi´n su velocidad o e v = x = −ω0 A sin(ω0 t + φ). Obviamente, la trayectoria t → (x, x ) describe una elipse de ecuaci´n o
2 | x |2 +ω0x2 = cte.,

(1.6)

(1.7)

en el plano de fases.

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El hecho de que la trayectoria quede atrapada en la elipse (1.7) puede obtenerse f´cilmente a a trav´s de un argumento de conservaci´n de energ´ En efecto, multiplicando en (1.4) por e o ıa. x deducimos que d 1 ω2 2 x + ω0 x x = | x |2 + 0 | x |2 = 0. (1.8) dt 2 2 Esta identidad confirma que la energ´ total de la vibraci´n ıa o e(t) = 1ω2 | x |2 + 0 | x |2 2 2 (1.9)

se conserva en tiempo y permite determinar la elipse (1.7) en la que la trayectoria permanece. Es evidente que dos oscilaciones arm´nicas con la misma frecuencia ω0 que se superponen o generan una nueva oscilaci´n arm´nica de la misma frecuencia. Por otra parte es f´cil calcular o o a la amplitud y fase de la nueva oscilaci´n a partir de las dos originales. Peroesto deja de o ser cierto cuando las frecuencias no son las mismas, dando lugar a un fen´meno que, como o veremos m´s adelante, jugar´ un papel importante en el an´lisis num´rico de las ondas. a a a e Con el objeto de analizar este nuevo fen´meno de superposici´n conviene reescribir las o o soluciones en la forma de exponenciales complejas x1 = A1 ei(ω1 t+φ1 ) ; x2 = A2 ei(ω2 t+φ2 ) . (1.10)...