metodos numericos

Ejemplo de los gastos de las computadoras personales según su
antigüedad y las horas diarias de trabajo
Supongamos que estamos interesados en explicar los gastos (en miles de
pesos) de las computadoras personales de un departamento comercial a partir
de su edad (en años) y del número de horas diarias que trabajan (horas/día).
Se ha tomado una muestra de cinco computadoras personales y de lascuales se
han obtenido los resultados siguientes:

Gastos Y (miles de pesos )

Antigüedad X1 ( años)

Horas de trabajo X2
(horas/día)

24.6

1

11

33.0

3

13

36.6

4

13

39.8

4

14

28.6

2

12

Se quiere encontrar un modelo de regresión de la forma:

y = β 0 + β1 x1 + β 2 x2 + ε
Si desarrollamos esta ecuación en odas las observaciones de lamuestra,
obtenemos el sistema de siguiente:

 y 1 = β0 + β1 × 1 + β 2 × 11 + ε 1
 y = β + β × 3 + β × 13 + ε
1
2
2
 2 0

 y 3 = β0 + β1 × 4 + β 2 × 13 + ε 3
 y = β + β × 4 + β × 14 + ε
0
1
2
4
 4
 y 5 = β0 + β1 × 2 + β 2 × 12 + ε 5

Que podemos escribir matricialmente como

Y = Xβ +ε
Donde:

1

 24.6 
1
 33.0 
1



Y =  36.0  X = 1



39.8 
1
 28.0 
1



•
•

1 11
3 13

4 13

4 14
2 12


ε 1 
ε 
 2
β 0 
 β  ε = ε 3 
β =  1
 
ε 4 
β 2 
 
ε 5 
 

Xβ es la parte correspondiente a la variación de Y que queda explicada
por las variables Xi
ε es el término de los errores y que de alguna manera recoge el efecto
de aquellas variables que también afectan a Y; lascuales no se
encuentran incluidas en el modelo porque son desconocidas o porque
no se tienen datos suyos

Estimación del vector de parámetros β por Cuadrados Mínimos
A partir de las observaciones de la muestra se quiere encontrar una ecuación
de regresión lineal múltiple estimada que predice la variable dependiente, Y, en
función de las variables independientes observadas Xj. Tal modelo tienela
forma

ˆ
ˆ
ˆ
ˆ i = β o + β1 xi1 + β 2 xi2 + ...... + β p xip + ei
y ˆ
Donde:
•
•
•

ˆ
β j son las estimaciones de los parámetros del modelo
ˆ i es el valor estimado por el modelo para yi
y
ei = yi − ˆ i Es la diferencia entre los valores observados y los valores
y
estimados de la variable dependiente.

El vector de los residuos se puede escribir en forma matricial como:

ˆe =Y − Xβ
Para construir el modelo de ajuste se tiene que minimizar la suma de
cuadrados de los residuos.
n

n

i =1

i =1

2
ˆ
ˆ
ˆ
Q( β ) = ∑ ei2 = ∑ ( yi − ˆ i ) = eT e = (Y − Xβ )T ( Y − Xβ )
y

2

Haciendo operaciones con los vectores y matrices

ˆ
ˆ
ˆ ˆ
ˆ
Q( β ) = Y T Y − β T X T Y − Y T Xβ + β T X T Xβ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
Q( β ) = Y T Y − 2 β T X T Y + β T X T XβDerivando Q con respecto a
ecuaciones normales

ˆ
β

e igualando a cero se obtiene el sistema de

ˆ
(X X )β = X
T

Resolviendo para

ˆ
β

T

Y

se obtiene:

ˆ = ( X T X )−1 X T Y
β
ˆ
β

El vector
es el vector de los estimadores mínimos cuadráticos de los
parámetros del modelo.

ˆ
(X X )β = X
T

Recordemos que si en la ecuación matricial

T

Y

se

efectúa lamultiplicación, se obtiene el sistema de ecuaciones normales de la
regresión

3


 n
 n
 x
 ∑ i1
i =1
n
∑ xi 2
 i =1
 ⋯
 n
 ∑ xik
 i=1

n

∑x
∑x

2
i1

i =1

n

∑x
i =1
n

i =1

i2

x

⋯

∑x

2
i2

⋯

⋯

⋯

∑x
i =1

⋯

n

x

ik i1

i1 i 2

i =1
n

x

∑x

⋯

i =1
n

i1 i 2

∑x

n

∑x

i1

i =1
n

i =1

n
∑ xik xi1 

i =1
n

∑ xik xi 2 

i =1
⋯ 
n
2 
∑ xik 
i =1


n

∑x

x

ik i 2

i =1

ik

⋯

ˆ
 β 0   e1 
ˆ  
 β1  e2 
ˆ
 β  =  e3 
 2  
⋯  ⋯
 β  e 
ˆ
 k  k

Para nuestro ejemplo, tenemos:

 24.6 
1
 33.0 
1



Y =  36.0  X = 1



39.8 

1
 28.0 
1


...