Metodos numericos

Métodos cerrados para obtener raíces de ecuaciones
Método de la Bisección
El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio designo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.
Algoritmo
Paso 1
Elegir los valores iníciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo:
f(Xa)f(Xb) < 0
Paso 2
La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio de esta forma:

Paso 3
Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz:
a. Si f(Xa)f(Xb)< 0, entonces la solución o raíz está entre Xa y Xpm, y Xb pasa a ser el punto medio (Xpm).
b. Si f(Xa)f(Xb) > 0, entonces la solución o raíz está fuera del intervalo entre Xa y el punto medio, y Xa pasa a ser el punto medio (Xpm).
Paso 4
Si f(Xa)f(Xb) = 0 ó Error = | Xpm – Xpm – 1 | < Tolerancia
Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de laiteración anterior.
Al cumplirse la condición del Paso 4, la raíz o solución es el último punto medio que se obtuvo.
Para el error relativo porcentual se tiene la siguiente fórmula:

Método de regla falsa
Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza queen su interior hay al menos una raíz (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.
A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:

Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace enel método de la secante).
Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será:
* [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos;
* [ck, bk] en caso contrario.

Métodos cerrados para obtener raíces de ecuaciones
Método de punto fijo
El método de iteración de punto fijo, también denominado método deaproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma x = g(x).

Llamemos x * a la raíz de f. Supongamos que existe y es conocida la función g tal que:
f(x) = x − g(x) del dominio.
Entonces:

Tenemos, pues, a x * como punto fijo de g.
Procedimiento
El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar laconvergencia. Para que converja, la derivada (dg / dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.
Algoritmo para iteración de punto fijo
1. Se ubica la raíz de f(x) analizando lagráfica.
2. Se obtiene un despeje x = g(x) de la función.
3. Obtenemos de x = g(x) su derivada.
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en g(x), es decir g(R) = R haciendo iteración de las operaciones.
Método de newton raphson
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido deque su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto).
La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia...