Metodos Numericos

UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA
UNIDAD AZCAPOTZALCO

METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA (NO PRESENCIAL)

PROYECTO
MÈTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA SOLUCIÒN DE ECUACIONES EN
DERIVADAS PARCIALES

EQUIPO: DGA
INTEGRANTES:
DAVID MARTIN FLORES SOTO 207200572
GABRIEL ROJAS LOZANO 208201725
ANGEL HEREDIA CHAVEZ 205204805

PROFESOR: M. EN C. HUGO PABLO LEYVA
ASESOR: MARTIN CHUI

1Metodo de Diferencias Finitas para la Soluci´ n de
o
Ecuaciones en Derivadas Parciales

1. Intro duccion
La teor´ de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) se ha convertido en uno de los
ıa
campos de estudio má imp ortantes en matem´ ticas, debido a su frecuente aplicación en
s
a
diferentes areas de la f´sica, ingenier´ y otras ciencias. Entre las EDP mas
ı
ıa
representati vas seencuentran la Ecuaci´ n de Laplace, la Ecuacion de Onda y la Ecuaci´ n
o
o
de Calor.
La Ecuacion de Laplace mo dela la distribución de temp eratura en estado estacionario para
una region. Si u(x, y , z ) representa la temp eratura en un punto (x, y , z ) en la region, la
distribución se obtiene al solucionar la ecuación:

Esta ecuación aparece en muchos otros problemas de la f´sica como:Potenciales
ı
Electrostaticos, Potenciales en Hidro din´ mica y Potenciales Arm´ nicos en la Teor´ de la
a
o
ıa
Elasticidad.
La Ecuacion de Calor constituye una herramienta de gran utilidad para dar solución a
problemas de flujo de calor en cuerpos determinados. Si u(x, y , z , t) es la temp eratura en
el punto (x, y , z ), en un instante t, la ecuació es:
n

Esta ecuación aparecetambi´ n en una gran variedad de problemas de la f´sica
e
ı
matematica: p or ejemplo, la concentracion de material en difusion, la propagacion de
olas en canales de gran longitud, y la transmision en cables el´ ctricos [4]. En la
e
termo dinamica, la ecuación de calor puede ser aplicada en tres situaciones: cuerp os solidos
(tres dimensiones), placas (dos dimensiones), y barras (una dimension).La Ecuacion de Onda surge al describir fenomenos relativos a la propagacion de ondas en un
medio continuo. Los estudios de ondas acusticas, ondas de agua, ondas electromagn´ ticas y
´
e
vibraciones mec´ nicas estan basados en esta ecuación [5]. Si u(x, y , t) representa la altura
a
del punto (x, y ) en el instante t, la ecuaci ó es:
n

La deduccion desde la f´sica de las tres ecuacionespuede ser consultada en [4]. Las
ı
soluciones de estas tres ecuaciones pueden calcularse mediante mé d os anal‘ticos o
to
aproximarse media nte méod os numé
t
ricos. Es 2el propósito de este proyecto ilustrar el
méodo num´ rico de diferencias finitas para el c´ lculo de la solución de las Ecuaciones de
t
e
a
Calor y de Onda para el caso unidimensional, y comparar los resultadosobtenidos
mediante este mé d o con los resultados anal‘ticos, para un caso particular.
to

2. Planteamiento del Proble ma
La ecuación de calor unidimensional ut = k uex aplicar´ por ejemplo, para el caso de una
ıa,
barra metalica larga y delgada, con aislamiento, ya que la temp e- ratura de cualquier
seccion trans versal ser´ constante, debido a que el tiemp o que tarda la temp eratura en
ıaequilibrarse en distancias cortas se asume como despreciable.
En este caso, si asumimos que la barra tiene una longitud l, una temp eratura inicial f (x), y
que los extremos se mantienen a temp eratura cero, la distribuci´ n de temp eratura en la
o
barra estadada por la soluci ó del problema de valores iniciales y en la frontera:
n

Este problema puede resolverse por medio del méodo anal´
tıtico de separacion de
variables, que se explica en [4]. La solució es:
n

En el caso de la Ecuacion de Onda, se sup ondr´ que la ecuación representa el movimiento
a
de una cuerda elastica de longitud a sujeta por los extremos, eligiendo el eje x para
representar la posicion original de la cuerda. Se sup one que dicha cuerda se pone en
movimiento mediante alguna fuerza externa, de...