metodos numericos

Tema 4
Métodos Numéricos en Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
4.1 Introducción
Estudiaremos en este Tema algunos métodos numéricos para resolver problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales ordinarias y en sistemas de e.d.o.
4.2 Metodo de Euler
El Metodo de Euler o de las Tangentes constituye el primer y mas sencillo ejemplo de metodo numerico para la resolución de un problemade valor inicial:
y = f (x, y), y(xo) = yo
donde suponemos ademas que se verifican las hipótesis del Teorema de Picard2, y en consecuencia existe solución ónica para el problema.
Interpretando la e.d.o. y' = f (x, y) como un campo de direcciones en el plano
x — y y la condición inicial y(x0) = y0 como un punto (x0,y0) de dicho plano, podemos aproximar la funcion solucion y(x) por medio de larecta tangente a la misma que pasa por ese punto:
y(x) = yo + f (xo,yo)(x — xo)
donde se ha utilizado que la pendiente de dicha tangente es: m = y'(xo) y, en consecuencia: m = f (xo,yo).
Calculamos así de manera aproximada el valor de la solución y en el punto de abscisa xi como:
y(xi) = yi = yo + f (xo,yo)(xi - xo)
y con este punto (aproximado) ya calculado, podemos repetir el metodo paraobtener otro punto aproximado (x2,y2) de la forma:
y(x2) = y2 = yi + f (xi,yi)(x2 - xi)
y así sucesivamente.
Es habitual en este metodo tomar abscisas equiespaciadas, es decir, calcular la solución aproximada en puntos de la forma: xn = xn-i + h = xo + nh, siendo h el paso del metodo. De esta forma se obtienen las formulas que nos determinan la solucion aproximada en la forma:
xn = xn- i + h; yn= yn- i + f (xn- i y yn-i ) h
Desde el punto de vista geometrico, tenemos en definitiva que el Metodo de Euler aproxima a la funcion solucion por medio de una línea poligonal, la aproximación seró tanto peor cuanto mayor sea en nómero de pasos, es decir, cuanto mas “lejos” nos encontremos del punto inicial (xo,yo). Por otro lado, el error seró evidentemente tanto mayor cuanto mas grande sea el“paso” del metodo, h.
Ejemplo: Resolveremos el problema de valor inicial
í y' = x Vy
\ y(i)=4
por el metodo de Euler con h = 0.1 para los puntos x = 1.1, i.2, i.3,1.4 y 1.5.
En este problema tenemos h = 0.1, (x0,y0) = (1,4) y la función f (x, y) es: f (x, y) = x^/y. Por tanto:
yn = yn—1 + xn—\\¡ yn—1 h
i
Xi
Vi
Sol. Exacta
0
1
4
4
1
1.1
4.2
4.21276
2
1.2
4.42543
4.45210
3
1.34.67787
4.71976
4
1.4
4.95904
5.01760
5
1.5
5.27081
5.34766
Dado que el problema se puede resolver tambien de forma exacta, presentamos en la tabla y gráfica siguientes los resultados:


4.3 Métodos de Taylor
El Método de Euler que acabamos de describir no es más que un caso particular de los métodos de Taylor, que consisten de manera general en aproximar la solución por su polinomiode Taylor de un orden determinado. Partiendo por tanto del P.V.I.:
y' = f(x,y) )
y(xo) = yo f
tal que presenta solucion ánica y(x) en un entorno de x0 (solucion que suponemos además derivable n veces en dicho entorno), aproximaremos dicha funcián por su polinomio de Taylor de orden N:
1 1 y(N) y(x) ~ y(xo)+ y'(Xo)(x - Xo) + 2 y''(x0)(x - Xo )3 + 3 y'''(xo )(x - xo)4 + • • • + NT (x - xo)N
yel error de aproximacion viene determinado por el resto de orden N + 1, de manera que el error es proporcional a (x - xo)N+1.
Si fijamos una sucesion de puntos equiespaciados : xo,x1,x2,..., con xn+1 = xn + h, y denominamos (de manera similar a lo hecho en la seccion anterior) yo,y1,... a los valores paroximados correspondientes de y(x), tendremos que:
Vn+1 = Vn + y'(xn)h + - y" (xn)h2 + ... + —y(N )(xn]hN
2» y ^ N
con un error en cada paso (error local2) proporcional a hN+1.
Para poder aplicar el metodo necesitamos conocer las derivadas de la solución (recordemos que desconocida), pero teniendo en cuenta la propia ecuacion diferencial:
V(Xn) = f (Xn, Vn) mientras que y"(xn) puede ser calculada derivando:
„ d ) df + df dy df + df )
y = dXf y)= dX + dydx = di + dy f (X'y)
y...