Metodos Numericos

TRABAJO DE INVESTIGACION

TEMA: Diferenciación e integración numérica

1. Diferenciación Numérica.

Se consideran algunas técnicas de aproximación para derivar una función f(x) dada. Las reglas que resultan son de grande importancia para la solución de ecuaciones diferenciales. Pueden ser utilizadas para obtener aproximaciones numéricas de una derivada a partir de los valores de la función.Pero el método de diferenciación numérica basado en interpolación numérica es un proceso inestable y no se puede esperar una buena aproximación aun cuando la información original está bien aproximada, por lo que el error f’(x) – p’(x) puede ser muy grande especialmente cuando los valores de f(x) tengan perturbaciones.
Ahora su p(x) es un polinomio de interpolación de f(x) entonces e(x) = f(x)- p(x)es el error de aproximación, por lo que e’(x)=(f(x) – p(x))’= f’(x) – p’(x) es el error de interpolación en la derivación de f(x) con respecto a la aproximación con el polinomio p(x).
Tomamos una función continuamente diferenciable en el intervalo y tomamos los puntos distintos en el intervalo.

2. Calculo de la primera Derivada

Si recordamos la definición de derivada de una función f(x) en unpunto x:
Tendremos que una primera aproximación al valor de f’(x) lo tendremos con la expresión:
De cara a analizar el error de la aproximación, supongamos que f’(x) es derivable dos veces en un entorno del punto x y apliquemos la Fórmula de Taylor a f(x + h) en x:
Para algún. Despejando tendremos:
De manera que la aproximación lleva asociado un error proporcional a h y a la derivada segunda de lafunción en un punto indeterminado. Denominando al máximo que alcance f”(x) en [x, x + h] tendremos:

Una aproximación similar se obtiene desarrollando la función f(x - h):
Es posible, sin embargo, mejorar la precisión de la siguiente manera: Consideremos los polinomios de Taylor de las funciones f(x + h) y f(x - h), suponiendo que la función es al menos tres veces derivable:

Si restamos ambasexpresiones y despejamos tendremos:
de manera que la aproximación (a veces denominada aproximación central) tendrá asociado un error proporcional a :

siendo el máximo de la derivada tercera en [x - h; x + h].

De manera análoga se obtiene una aproximación para la derivada segunda:
Es interesante comentar que con las fórmulas anteriores pueden aparecer graves errores de redondeo, sobre todo si losdatos de la función no se conocen con demasiada precisión
y además h es muy pequeña, debido a las sustracciones que es necesario realizar (y los errores de redondeo que suelen llevar aparejados).


3. Formula de la derivación de dos puntos
La manera habitual de aproximar la derivada de una función f (x) en un punto xi consiste en utilizar el desarrollo de Taylor centrado en :

Si tomamos unpunto , y despejamos f‘( ) obtenemos:
Donde O indica, básicamente, que el error cometido es una suma de potencias de en la que la potencia más pequeña es 1. Se denomina orden de la aproximación a la potencia más pequeña que aparece en el término del error. Por lo tanto, en este caso, diremos que el orden de aproximación es 1. Si , entonces la derivada se calcula hacia adelante, mientras que si , laderivada se calcula hacia atrás.






4. Integración Numérica

Se llama genéricamente Integración Numérica al conjunto de técnicas y métodos que se han desarrollado para el cálculo aproximado de integrales definidas.
En aquellos casos en los que simplemente se conoce la función f(x) por medio de una tabla de datos, estas técnicas son absolutamente necesarias si se quiere evaluar la integral dealguna manera. Además, aun conociéndose la función en forma analítica, con frecuencia es difícil (o incluso imposible) calcular una primitiva de dicha función de cara a aplicar la Regla de Barrow.

4.1 Reglas del Trapecio o Método de Trapecio
El Método de los Trapecios es un Método de Newton-CÔtes basado en la interpolación lineal. Se trata por tanto, de cara a integrar f(x) desde el punto (a,...