Metodos

tarea











Métodos Iterativos

* Un método iterativo obtiene una solución aproximada de Ax = b construyendo una sucesión de vectores: x1, x2,. . ., xk desde un vector inicial arbitrario x0.

* Un método iterativo se dice convergente si

* El vector error, en cada iteración, se define como ek = x − xk.

* El vector residuo, en cada iteración, sedefine como rk = b − Axk.

* Se puede probar

* Un método iterativo nunca da la solución exacta incluso en precisión infinita.

* Los métodos directos teóricamente producen la solución exacta; pero en un ordenador dan errores numéricos.

* Se da a priori una precisión para nuestra solución. Sea TOL el error máximo permitido.

* Pero x, y ek no son conocidos el criterio deparada no es útil.

* Se utiliza el criterio del residuo

* La relación entre el error y el residuo es

* Usando normas matriciales:


* Notar además

* Combinando (1a) con (2a) y (1b) con (2b) obtenemos


* Finalmente, recordando que

Conclusión: Test del residuo es fiable si K(A) no es muy grande.

* Métodos iterativos estacionarios
Sea A lamatriz del sistema Ax=b. Podemos considerar la partición A= M-N, donde
M ≠ A es una matriz invertible.
Se construye el sistema iterativo donde H es la matriz de iteración y X0 el vector inicial.

Definición:
Se dice que un método iterativo es estacionario si la matriz de iteración H es constante en todo el proceso.
* Sea A tal que aii ≠ 0 y consideremos la partición A= L + D + U* L es la parte estrictamente triangular superior de A.
* D es la parte diagonal de A.
* U es la parte estrictamente triangular superior de A.

* Método de Jacobi: M = D y N = -(L + D)


* Método de Gauss-Seidel: M = D + L y N = -U


Ejercicios:
* Dados

Resuelva el sistema Ax = b por el método de Gauss-Jacobi y determine la tasa deconvergencia usando las normas ∞ y 1. Haga lo mismo con el método de Gauss-Seidel y deduzca cual de ellos converge más rápidamente.

Solución:
(a) El método de Gause-Jacobi se basa en la descomposición A = L + D + U y tiene la iteración


Operando, obtenemos la secuencia






Que claramente convergue a la solucion exacta (1, 1, 1)^T

(b) El método de Gauss-Seidel se basaen la iteración



Operando, obtenemos la secuencia





que claramente converge, y más rápidamente que el Gauss-Jacobi, a la solución exacta
(1; 1; 1)^T.
(c) La tasa de convergencia del método de Gauss-Jacobi viene dada por la norma de

cuyas normas son || J ||1 = 0.6 y || J ||∞ = 0.5. La tasa de convergencia del método de
Gauss-Seidel viene dada por la norma decuyas normas son || J ||1 = 227/500 = 0.454 y || J ||∞ = 2/5 = 0.4. Estos resultados confirman la convergencia más rápida observada para el método de Gauss-Seidel.

Sistemas de ecuaciones no lineales
* Introducción
El método de Newton-Raphson es un método iterativo que nos permite aproximar la solución de una ecuación del tipo f(x) = 0.
Partimos de una estimación inicial de la soluciónx0 y construimos una sucesión de aproximaciones de forma recurrente mediante la fórmula

Por ejemplo, consideremos la ecuación

En este caso es imposible despejar la incógnita, no obstante, si representamos las curvas y = ex, y = 1/x en el intervalo x ∈ [0, 4], es evidente que la ecuación tiene una solución en este intervalo.

Para aplicar el método de Newton-Raphson, seguimos lossiguientes pasos:

1. Expresamos la ecuación en la forma f(x) = 0, e identificamos la función f. En el ejemplo es:

2. Calculamos la derivada

3. Construimos la fórmula de recurrencia

4. Tomamos una estimación inicial de la solución. En este caso podemos tomar por ejemplo x0 = 1.0, y calculamos las siguientes aproximaciones. Desde el punto de vista práctico, si deseamos aproximar la...