metodos

CAPITULO 6

LA ECUACION
DEL CALOR

Introducci´n
o
La ecuaci´n del calor,
o
ut − ∆u = F (x, t),
es el modelo m´s sencillo de ecuaci´n de difusi´n y fue obtenida en la secci´n 1.3 con
a
o
o
o
detalle. Hemos visto en la secci´n 2.3 c´mo el problema de Cauchy para la ecuaci´n
o
o
o
del calor con datos en t = 0 es un problema caracter´
ıstico. En la secci´n 3.4 se
o
ha estudiadoel comportamiento de la difusi´n de calor en un medio unidimensional,
o
advirtiendo que se trata de un modelo irreversible y viendo c´mo la ecuaci´n del calor
o
o
mejora los datos, es decir, tiene efecto regularizante.
En este cap´
ıtulo se proyecta estudiar el problema de Cauchy en RN comprobando
que es compatible, si bien es necesaria una condici´n unilateral para obtener soluci´n
o
ounica, por ser caracter´
´
ıstico .
A fin de poder demostrar resultados de unicidad se establecer´ el principio del
a
m´ximo para la ecuaci´n del calor.
a
o
291

292

La obtenci´n de la soluci´n fundamental es el objeto de la primera secci´n. Con ella
o
o
o
obtendremos una soluci´n del problema de Cauchy homog´neo. Se estudia tambi´n
o
e
e
un contraejemplo de Tychonoff que ponede manifiesto la no unicidad.
La secci´n 6.2 se dedica a estudiar el principio del m´ximo en dominios acotados
o
a
y a los teoremas de unicidad m´s simples.
a
La soluci´n del problema no homog´neo ser´ el objeto de la secci´n tercera y en la
o
e
a
o
secci´n cuarta se estudiar´ el resultado general de unicidad de Widder. Esta ultima
o
a
´
secci´n se puede reducir en una primeralectura a informarse del resultado, obviando
o
las demostraciones.
Se cierra el cap´
ıtulo con un apartado de ejercicios.

293

6.1.- N´cleo de Gauss. Construcci´n de soluciones.
u
o
Al igual que se ha hecho en la ecuaci´n de Laplace, tratamos de obtener soluciones
o
de la ecuaci´n del calor que son singulares en el origen.
o
Empezaremos por el caso de dimensi´n espacial uno que es m´ssencillo de escribir,
o
a
y en el que usaremos un argumento de homogeneidad frente al cambio de escala, que
reduce el problema a una ecuaci´n ordinaria.
o
El uso de la transformaci´n de Fourier nos permitir´ obtener la soluci´n fundao
a
o
mental en dimensiones mayores.
A) En el caso de dimensi´n N = 1, hay un camino muy elemental de obtener la
o
soluci´n fundamental.
o
Buscaremossoluciones autosemejantes, es decir, soluciones que al cambiar la escala
convenientemente permanecen invariantes. M´s precisamente, la escala conveniente
a
queda determinada observando que en la ecuaci´n del calor hay una derivada en
o
el tiempo y dos en el espacio. Con esta observaci´n, hacemos el cambio de escala
o
x = λα y, t = λβ s y consideramos para una soluci´n u,
o
v(y, s) = u(λα y,λβ s) = u(x, t).
Para que v sea soluci´n hemos de tener,
o
vs − vyy = 0
pero si calculamos,
vs − vyy = λβ ut − λ2α uxx ,
de forma que si β = 2α tenemos,
vs − vyy = λβ (ut − uxx ) = 0.
Como consecuencia, parece natural buscar soluciones que respeten la homogeneidad
x
observada, es decir, soluciones que dependan de la variable ξ = √ . La forma de una
t
tal funci´n, ser´,
o
a
x
u(x, t)= tα f ( √ ).
t
Imponiendo que u verifique la ecuaci´n, ut − uxx = 0, se debe tener,
o
ξ
f (ξ) + f (ξ) − αf (ξ) = 0,
2
x
donde ξ = √t . Desde el punto de vista f´
ısico se sabe que hay que imponer la conservaci´n de la cantidad de calor. Normalizando se traduce en,
o
∞

∞

u(x, t)dx =
−∞

x
tα f ( √ )dx = 1,
t
−∞

294

es decir,

∞

∞

1
x
tα f ( √ )dx = tα+ 2
t−∞

f (y)dy = 1,
−∞

por tanto, necesariamente se ha de tener α = − 1 . La ecuaci´n ordinaria puede
o
2
escribirse como
(2f + ξf ) = 0.
Tomamos en particular las soluciones de
2f + ξf = 0,

f (ξ) = ce−

es decir,

|ξ|2
4

,

que para que tenga integral uno, debe ser,
1

u(x, t) = (4πt)− 2 e−

|x|2
4t

,

n´cleo de Gauss, que es la soluci´n fundamental buscada....