Micro

MICROONDAS

Examen abril 07

M. Baquero, F. Pe˜ aranda y V. Boria n

17 ABRIL 07
17.1 PROBLEMA 1 (35p)
Las figuras 1.1 y 1.2 muestran sendas guías, una coaxial (de radios interior a=3.05 mm y exterior b=7 mm) y la otra circular (de radio b=7 mm). Sus paredes son eléctricas y el dieléctrico interior es aire en los dos casos.

a

b

b

Figura 1.1.-Guía coaxial Se pide:

Figura1.2.-Guía circular

(14p)a) Calcule el número de onda de corte (kc) y la frecuencia de corte (fc) de los 3 primeros modos de cada una de las dos guías planteadas. De todos los modos calculados en el apartado anterior (3 en cada guía) nos interesa quedarnos únicamente con el primer modo T.M. que aparezca antes en cualquiera de las dos guías. (3p) b) Para este modo, sea de la guía que sea, calculetodas las componentes de campo eléctrico y magnético. Asimismo, con esta guía seleccionada se desea construir una cavidad resonante. Para esta cavidad, calcule: (8p) c) La altura que debe tener la cavidad así formada (en guía coaxial o circular, según se haya seleccionado en el apartado b) y la permitividad del material que debe rellenarla para que la 1ª frecuencia de resonancia de este modo seaf0=11.6 GHz. (10p)d) Por último, calcule el factor de calidad de la cavidad anterior si suponemos que el dieléctrico del interior de la cavidad tiene pérdidas caracterizadas por su tgδ, la posición en la pared lateral (r0=b,ϕ0,z0) donde colocaría una espira para poder excitar el modo TM que estamos analizando, así como el plano en el que debería estar contenida. Datos:

A07-2

PROBLEMA 1ABRIL 07

1) Ceros de las siguientes ecuaciones con productos cruzados de las funciones de Bessel (α>1):

Jν ( x ) ⋅ Yν (α ⋅ x ) − J ν (α ⋅ x ) ⋅ Yν (x ) = 0 ⇒ xνp ≈

p ⋅π , p = 1,2,3,... α −1

donde xνp es el cero p-ésimo cuando el orden de las funciones de Bessel es ν.

⎧ p ⋅π ⎧ ν = 0 ,⎨ ⎪ α − 1 ⎩ p = 1,2,3,... ⎪ ⎪ 2 ⋅ν ⎧ν > 0 Jν ' (x ) ⋅ Yν ' (α ⋅ x ) − Jν ' (α ⋅ x ) ⋅ Yν ' ( x ) =0 ⇒ xνp ' ≈ ⎨ ,⎨ α +1 ⎩ p =1 ⎪ ⎪ ( p − 1) ⋅ π ⎧ ν > 0 ,⎨ ⎪ ⎩ α − 1 ⎩ p = 2,3,...
donde xνp ' es el cero p-ésimo cuando el orden de las funciones de Bessel es ν. 2) Ceros de las funciones de Bessel de primera especie Jn ( x ) (denominados

pnl ) y de su primera derivada Jn ' ( x ) (denominados pnl ' )

pnl
0 0.5 1 n 1.5 2 2.5 3

l
1 2.4048 3.1416 3.8317 4.4934 5.1356 5.7635 6.3802 25.5201 6.2832 7.0156 7.7253 8.4172 9.0950 9.7610 3 8.6537 9.4248 10.1735 10.9041 11.6198 12.3229 13.0152 4 11.7915 12.5664 13.3237 14.0662 14.7960 15.5146 16.2235 5 14.9309 15.7080 16.4706 17.2208 17.9598 18.6890 19.4094

pnl '
0 0.5 1 n 1.5 2 2.5 3

l
1 3.8317 1.1656 1.8412 2.4605 3.0542 3.6328 4.2012 2 7.0156 4.6042 5.3314 6.0293 6.7061 7.3670 8.0152 3 10.1735 7.7899 8.5363 9.2614 9.969510.6636 11.3459 4 13.3237 10.9499 11.7060 12.4453 13.1704 13.8834 14.5858 5 16.4706 14.1017 14.8636 15.6116 16.3475 17.0728 17.7887

ABRIL 07

PROBLEMA 1

A07-3

3) Componentes transversales de campo en función de la axiales:
1 ⋅ (− j ⋅ ω ⋅ μ ⋅ ∇t x(H z ⋅ z ) − γ ⋅ ∇t ⋅ E z ) ˆ k +γ2 1 Ht = 2 ⋅ (j ⋅ ω ⋅ ε ⋅ ∇t x (E z ⋅ z ) − γ ⋅ ∇t ⋅ H z ) ˆ k +γ2
2

Et =

4) Operadores en coordenadascilíndricas:
1 ∂Φ ∂Φ ⋅ϕ ⋅r + ⋅ ˆ ˆ ∂r r ∂ϕ ⎛ 1 ∂ (r ⋅ Fϕ ) 1 ∂Fr ∂F 1 ∂F ∇t x F = ⋅ z ⋅ r − z ⋅ϕ + ⎜ ⋅ − ⋅ ˆ ⎜ ˆ ∂r ∂r r ∂ϕ r ∂ϕ ⎝r ∇t ⋅ Φ =

⎞ ⎟⋅ z ⎟ ˆ ⎠

a)

Para calcular los números de onda de corte de cada una de las dos

guías planteadas, debemos platear las ecuaciones de onda en cada una de ellas. Empezaremos por la guía coaxial. Sabemos que los modos posibles en una guía son losmodos T.E.M. (Transversales Eléctricos y Magnéticos), T.M. (Transversales Magnéticos) y T.E. (Transversales Eléctricos). En la guía coaxial podemos tener los tres tipos, ya que los modos T.E.M. requieren un medio homogéneo y al menos dos conductores, como es el caso. Para los modos T.E.M. sabemos que se debe cumplir que kc2 = k 2 + γ 2 = 0 , por lo que el número de onda de corte es cero y así la...