minas

TALLER DE ANALISIS NUMERICO
“Reglas de Simpson y Diferenciación Numérica”










FUNDACION UNIVERSITARIA DEL AREA ANDINA
FACULTAD: INGENIERÍA DE MINAS
VALLEDUPAR – CESAR
2012
REGLA DE SIMPSON
 
Además de aplicar la regla trapezoidal, otra forma de obtener una estimación más exacta de una integral es con el uso de polinomios de orden superior para conectar los puntos. Porejemplo si hay un punto extra a la mitad del camino entre f(a) y f(b), los tres puntos se pueden conectar con una parábola. Si hay igualmente dos puntos espaciados entre f(a) y f(b), los cuatro puntos se pueden conectar con un polinomio de tercer orden. Las fórmulas que resultan al tomar las integrales bajo esos polinomios son conocidos como reglas de Simpson.
 
 
Regla de Simpson 1/3
La segundafórmula de Newton-Cotes es para una cuadrática integrada en dos intervalos que son de anchura uniforme:
 
I ≈  h . [f(x0) + 4f(x1) + f(x2)]
                                                              3
 
donde para este caso h = (b-a)/2. Al sustituir  h en nuestra ecuación anterior, la regla de Simpson 1/3 se expresa también como:
 
I ≈  (b-a)  f(x0) + 4f(x1) + f(x2).                                                                                   6
 
donde a = x0, b = x2 y x1 = punto a la mitad del camino entre a y b, que esta dado por (b+a)/2.
 
 
Regla de Simpson 3/8
En una manera similar a la regla se Simpson 1/3, un polinomio de tercer orden se puede ajustar a cuatro puntos e integrarse, la regla es:
 

 
donde h = (b-a)/3. Al sustituir h en nuestra ecuación anterior, la regla deSimpson 3/8 puede expresarse también de la siguiente forma:
 
I ≈  (b-a)  f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
                 8
 
Ejemplo:
Use la regla de Simpson 1/3 y 3/8 para integrar la siguiente función:
 
f(x) = 0.2 +25x – 200x2 + 675x3 – 900x4 + 400x5
 
Desde a = 0 hasta b = 0.8. La integral exacta es 1.640533.
 
-         Por Simpson 1/3
 
x0 = 0
x2 = 0.8
x1 = (0 + 0.8)/2 =0.4
 
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.4) = 2.456
f(x2) = f(0.8) = 0.232
 
Sustituimos los valores en la ecuación:
 
I ≈  (b-a)  f(x0) + 4f(x1) + f(x2).
                                    6
I ≈  0.8  0.2 + 4(2.456) + 0.232.
                                                6
I ≈  1.367467
 
-         Por Simpson 3/8
 
Cada separación va a tener:
x = (0 + 0.8)/3 = 0.2667
 
x0 = 0x1 = (0 + 0.2667) = 0.2667
x2 = (0.2667 + 0.2667) = 0.5333
x3 = 0.8
 
f(x0) = f(0) = 0.2
f(x1) = f(0.2667) = 1.432724
f(x2) = f(0.5333) = 3.487177
f(x3) = f(0.8) = 0.232
 
Sustituimos los valores en la ecuación:
 
I ≈  (b-a)  f(x0) + 3f(x1) + 3f(x2) + f(x3).
                          8
I ≈  0.8  0.2 + 3(1.432724) + 3(3.487177) + 0.232.
              8
I ≈  1.519170Diferenciación Numérica
El cálculo de la derivada de una función puede ser un proceso "difícil" ya sea por lo complicado de la definición analítica de la función o por que esta se conoce unicamente en un número discreto de puntos. (Este es el caso si la función representa el resultado de algún experimento). En esta lección estudiaremos técnicas para aproximar las derivadas de una función y veremosel análisis de error de dichas formulas.
Formulas para la primera derivada: La definición de la derivada de una función f(x) en el punto "x" esta dada en terminos del limite:

De esta definición podemos decir que si "h" es pequeño entonces:

(Note el simbolo de aproximación). Esto nos da inmediatamente la primera formula numérica para aproximar la derivada:

Antes de ver algunos ejemplosdonde usamos esta formula, tratemos de constestar la pregunta de ¿cuán buena es esta aproximación de la derivada? Por el Teorema de Taylor sabemos que:

donde  esta entre x y x+h. Si despejamos ahora en esta formula por f'(x) y usamos la definición de  tenemos que:

Esta formula nos dice que  aproxima a f'(x) con un error proporcional a "h", i.e., O(h).




Ejemplo 1:...