MIPM U2 A2 MAEC




UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA DE MÉXICO (UnADM)

LICENCIATURA EN MATEMÁTICAS
“INTRODUCCIÓN AL PENSAMIENTO MATEMÁTICO”

“ACTIVIDAD”

ACTIVIDAD 2. MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN

GRUPO: MT-MIPM-1501S-B1-007

POR:
MAURICIO ELÍAS CHÁVEZ.

LA PIEDAD MICH. MARZO 2015

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Actividad 2. Métodos dedemostración

Instrucciones: Demuestra los enunciados por medio del métodos de demostración que consideres adecuado.

1. Demostrar que no hay ningún número racional cuyo cuadrado sea 15.

R= Utilizando el método por reducción al absurdo

Podemos suponer que el cuadrado de un número racional de la forma a/b es igual a 15 teniendo entonces que

15 = (a/b)2 con a ≠ 0

a y b tienencomo máximo común divisor al 1, es decir, el mayor número que los divide es el 1. Si existiera otro número diferente, ese número sería el máximo común divisor de a y b, y la expresión 15 = (a/b)2 con a ≠ 0 se puede simplificar al dividir entre el máximo común divisor de ambos números. Por lo tanto, son primos relativos porque el máximo común divisor de ellos es el 1.

Retomamos que 15 = (a/b)2con a ≠ 0
Eso es igual a 15 = a2/b2
Despejamos a2 = 15b2

Esto significa que a2 debe ser múltiplo de 2 porque el resultado de elevar un número al Cuadrado siempre es par, por lo tanto, a también es múltiplo de 2. Es decir, a = 2k para un cierto k.

Sustituimos el valor de p en la siguiente expresión:

a2 = 15b2
(2k)2 = 15b2
4k2 = 15b2 Elevando al cuadrado
b2 = 4k2/15 Despejando b2De esta última expresión tenemos que b2 es múltiplo de 2, y por lo tanto, b también. Aquí es donde encontramos la contradicción que buscábamos porque afirmamos que a y b no tenían factores comunes y encontramos que los dos son múltiplos de 2, es decir, que el máximo común divisor es el 2.

Por lo tanto 15 es el resultado del cuadrado de un número irracional. O dicho de otra manera sedemostró que no hay numero racional que su cuadrado sea 15.

2. Si x es racional y distinto de cero y y es irracional, entonces x + y y xy son racionales

R = Utilizando el Método de demostración por contraejemplo tenemos:

Este método lo utilizaremos para demostrar que el enunciado no es realmente válido, otorgándole valor específicos a ambas variables

Hipótesis

i. x ≠ 0 racional =(a/b) donde a ≠ 0
ii. y irracional = (raíz de 2, 3, π, e ETC…)

Conclusión del enunciado
i. x + y = racionales (a/b)
ii. xy = racionales (a/b)

Si decimos que x = al número racional 1/1 = 1 e y =

Tenemos:
x + y = (1/1) + = (1 + 1.414213562…..) = ( 2.414213562….)
xy = (1/1)* =

Estos resultados nos demuestran que en efecto el enunciado no es válidoya que en ambas ecuaciones el resultado no es un número racional o en otras palabras, ambos son números irracionales.

3. Demostrar que 13 + 23 + 33 + …+ n3 = (1 + 2 + 3 + …+n)2

R = Utilizando el Método por inducción matemática

Si Supongamos que P(x) significa que la propiedad P se cumple para el número n. Entonces, el principio de inducción matemática afirma que P(n) es verdad paratodos
los números naturales n siempre que:

i. P(1) sea verdad.
ii. P(k) es verdad, también lo es P(n + 1)

Primero demostraremos por este método, que el primer término de la fórmula cumple la propiedad. Después demostraremos que la propiedad es verdadera para un número n y se demuestra que también lo es para el siguiente número que es n + 1.

Demostración. Si

13 = (1)2,1 = 1
13 + 23 = (1 + 2)2, 9 = 9
13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2 36 = 36

Ahora si suponemos que n = k verifiquemos que se cumple la segunda condición agregándole k y k + 1, mediante la siguiente formula

13 + 23 + 33 +…+ k3 + (k+ 1)3 = (1 + 2 + 3 + k + [k + 1])2

Trabajamos con el lado izquierdo de la igualdad y...