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VERSIDAD DE SAN CARLOS
FACULTAD DE INGENIERIA

ANALISIS DE REGRESION CUADRATICA
Ing. Agr. Luis Manfredo Reyes Chávez
Profesor Titular Departamento de Estadística

1. INTRODUCCION:
El modelo de regresión cuadrática es una alternativa cuando el modelo lineal no logra un coeficiente de determinación apropiado, o cuando el fenómeno en estudio tiene un comportamiento que puede considerarsecomo parabólico. La forma más simple de tratar de establecer la tendencia es a través de un diagrama de dispersión o nube de puntos, tal como la siguiente:



Este modelo también es conocido como parabólico, y es el caso más simple de modelos de regresión polinomiales, siendo su grado igual a 2.

2. Ecuación característica
La función que define el modelo es la siguiente:

Yi=A+Bxi+Cxi2+EEn la cual:
Yi : Variable dependiente, iésima observación
A, B, C: Parámetros de la ecuación, que generalmente son desconocidos
E: Error asociado al modelo
Xi : Valor de la í-esima observación de la variable independiente

Al sustituir los parámetros por estimadores, el modelo adopta la siguiente forma:

yi=a+bxi+cxi2


3. Tabla de datos
Para el ajuste de un conjunto dedatos al modelo cuadrático de regresión, se construye la siguiente tabla de datos:

X y X2 X3 X4 X* y X2*y y2

.. .. .. .. .. .. .. ..


Σx Σy Σx2 Σx3 Σx4 Σ x*y Σx2y Σy2


4. Estimadores del modelo
los estimadores para el ajuste del modelo se calculan de la siguiente manera:







5. Análisis de varianza para la regresión
Con el objeto de determinar si elmodelo explica o no el fenómeno en estudio, se realiza el análisis de varianza, que se calcula de la siguiente manera


Fuente de Variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadrado medio F calculada F tabulada
Regresión 2 b* (Σxy-Σx*Σy/n)+c*( Σx2y- Σx2* Σy/n) S.C. Reg/2 C.M.Reg/C.M.Error
Error n-3 S.C. Total- S.C. Regresión S.C. Error/(n-3)
Total n-1 Σ(y)2-(Σy)2 /n


Ho: Elmodelo no explica el fenómeno en estudio
Ha: El modelo sí explica el fenómeno en estudio

• Para buscar en la tabla la F tabulada, se usan el el numerador los grados de libertad de regresión y en el denominador, de acuerdo al nivel de significancia escogido (los más usuales son al 5% y al 1%)
• Si el valor de F calculada es mayor que el de F tabulada, se rechaza Ho, en caso contrario se acepta6. Grado de ajuste del modelo
Para determinar el grado de ajuste del modelo, se calcula el coeficiente de determinación, de la siguiente manera:



7. Càlculo de estimadores, coeficiente de determinaciòn y anàlisis de varianza mediante el uso de matrices
Un mètodo alternativo para realizar los càlculos, es el uso de matrices. En este caso, el procedimiento es el siguiente:

i) formarla matriz x: (matriz de variable independiente), agregando la primera columna formada por unos y una tercera columna formada por los valores de x elevados al cuadrado:
1 x1 X12
1 x2 X22
... ..... .....
1 xn Xn2

ii) Formar el vector de valores de y

y1
y2
.....
yn

iii) Formar la matriz x transpuesta ( x´)

1 1 ... 1
x1 x2 ... xn
X12 X22 ... Xn2

iv) Calcular el productomatricial x´x
v) Calcular la inversa del producto x´x (o sea [x´x]-1
vi) Calcular el producto x´y
vii) Calcular el producto (x´x)-1*(x´y)=D
El resultado de esta operaciòn es el vector de coeficientes de regresiòn en el orden a,b,c
viii) Para el càlculo del anàlisis de varianza, se tienen las siguientes operaciones
matriciales:

Fuente de Variación Grados de libertad Suma de cuadrados Cuadradomedio F calculada F tabulada
Regresión 2 D´( x´ )(y)-nym2 S.C. Reg/2 C.M.Reg/C.M.Error *
Error n-3 y´y-D´( x´ )(y) S.C. Error/(n-3)
Total n-1 y´y- nym2

El valor de ym que se usa en los cálculos es el promedio de valores de y (Σy/n)

ix) Finalmente, el coeficiente de determinaciòn por matrices se obtiene de la
siguiente manera:

r2= [D´(x´)(y)- nym2]/[(y´y)- nym2 ]

8. Pruebas de...