Mod_sis_rot

Departamento de Procesos y Sistemas

MODELAJE DE SISTEMAS MECÁNICOS ROTACIONALES

Prof. Alexander Hoyo

Junio 2010
Caracas, Venezuela

Prof. Alexander Hoyo. Universidad Simon Bolívar. Departamento de Procesos y Sistemas.

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ÍNDICE
Pág.
Sistema mecánico rotacional

3

Servomotor de CD controlado por armadura

4

Engranes

7

Servomotor de CD con carga acoplada mediante engranes

10Referencias

13

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SISTEMA MECÁNICO ROTACIONAL
El sistema consiste en una carga inercial y un amortiguador de fricción viscosa.

J
T

ω

b

La segunda ley de Newton establece que:
Jα = ∑ T

J

α

Momento de Inercia de la carga [kg-m2]
Aceleración angular de la carga [rad/s2]
T Par aplicado al sistema[N-m]

Entonces:
•

J ω = -bω + T
b

Coeficiente de fricción viscosa [N-m/rad/s]
ω Velocidad angular [rad/s]

La función de transferencia resulta en:

Ω( s )
1
=
T (s) Js + b
Donde: Ω(s) y T (s) son las transformadas de Laplace de la salida (velocidad angular ω ) y
de la entrada (par T aplicado).
Ejercicio:
Obtener la función de transferencia

Θ( s )
donde Θ(s) es el desplazamiento angular en
T ( s)radianes de la carga.

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SERVOMOTOR DE CD CONTROLADO POR ARMADURA
La

Ra

θ
ea

eb
ia

J

T
If

b

El par electromagnético del motor es:

 ZNP 
T =
 Φ P ia
 aπ 
En el devanado de la armadura:
Z
N
a
P
ΦP
ia

Número de bobinas
Número de vueltas por bobinas
Número de trayectorias de corrientesparalelas
Número de polos
Flujo por polo
Corriente de armadura

Simplificando se puede decir que:
∆ ZNP


K1 =

 aπ 

El flujo Φ P puede expresarse como:
ΦP =
if

Nf
Rf

∆

if =K f if

∆

Kf =

Nf
Rf

Corriente de campo

Nf

Número de vueltas

Rf

Reluctancia de la trayectoria del flujo Φ P

Entonces el par electromagnético en el motor se puede expresar como:
T = K 1 ⋅ K f ⋅ i f ⋅ ia

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En un motor de CD con excitación independiente, la corriente de campo i f es constante I f y
el par se puede expresar como:
(1)

T = K ⋅ ia
K = K1 ⋅ K f ⋅ I f

Constante del par motriz

De la ec. (1) se observa que si el signo de la corriente de armadura se invierte, el signo del
par T también se invierte, loque indica un cambio en el sentido de rotación del eje del motor.
Del circuito de armadura se tiene:
La

La
Ra
ea
eb

dia
+ Ra ia + eb = ea
dt

(2)

Inductancia de la armadura [H]
Resistencia de la armadura [ Ω ]
Voltaje aplicado a la armadura [V]
Fuerza contra-electromotriz [V]

Cuando la armadura está girando, se induce en ella un voltaje proporcional al producto del
flujo por la velocidadangular. Como el flujo es constante, el voltaje inducido es directamente
proporcional a la velocidad angular.
eb = K b

θ

dθ
dt

(3)

Desplazamiento angular del eje del motor [rad]

Aplicando la segunda ley de Newton se tiene que:

d 2θ
dθ
J 2 =T −b
dt
dt

(4)

Momento de inercia equivalente del motor y la carga con referencia al eje del motor
J
[kg-m2]
b Coeficiente de fricción viscosa del motor y lacarga referido al eje del motor [N-m/rad/s]
Reescribiendo la ec. (4) e introduciendo la ec. (1) se tiene:

d 2θ
dθ
J 2 +b
= T = K ⋅ ia
dt
dt

(5)

Tomando las transformadas de Laplace de las ec. (2), (3) y (5) se tiene:

La sI a (s ) + Ra I a ( s ) + K b sΘ( s ) = Ea ( s )

(6)

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(7)

Js 2 Θ(s ) + bsΘ(s ) = KI a ( s )

Sustituyendo I a ( s ) de ec. (7) en la ec. (6) se tiene:

(La s + Ra )I a ( s) + K b sΘ(s) = Ea (s)
(La s + Ra ) Js


2

+ bs 
Θ(s ) + K b sΘ( s ) = Ea ( s )
K 



 Js 2 + bs 
 + K b s  Θ( s ) = Ea ( s )
(La s + Ra )
 K 


2
(La s + Ra ) Js + bs + KK b s Θ(s) = KE a ( s)

[

⇒

(

)

]

Θ( s )
K
=
2
Ea (s ) s[ La Js + ( La b + Ra J )s + Ra b + KK b ]...