modelacion ingenieria

Universidad Nacional de Misiones

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL Y
LA TEORÍA DE MODELOS FÍSICOS EN INGENIERÍA
Dr. Ing. Aldo Luis Caballero – MSc. Ing. Corina Feltan
Última versión: marzo de 2013

Conceptos generales
El estudio con modelos constituye una herramienta valiosa para las ciencias y la
ingeniería desde los mismos inicios de su desarrollo. Cuando los primeros
estudiososde la naturaleza buscaban explicaciones para los fenómenos que
observaban, tratando de encontrar las variables que intervienen en esos
fenómenos y las relaciones entre ellas, lo que realmente estaban haciendo era
buscar modelos que los representen. Así, por ejemplo, cuando Newton formuló el
enunciado de la ley de la gravitación universal, que reza: “Toda partícula de
materia del universo atraea cualquier otra partícula con una fuerza directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia que las separa”, construyó un modelo conceptual general o
fenomenológico de la gravitación. Luego, traduciendo este enunciado al lenguaje
matemático escribió:

F∝

m ⋅ m'
r2

Donde m y m’ son las masas de las partículas, r la distanciaentre ellas y F el
módulo de la fuerza de atracción.
Con esto Newton obtuvo una descripción matemática del fenómeno de
gravitación. Finalmente, al calcular la constante de proporcionalidad γ =
6,670⋅10-11 N⋅m2/kg2, obtuvo un modelo matemático para dicho fenómeno:

F =γ ⋅

m ⋅ m'
r2

Juan Manuel de Rosas 325 Tel/Fax (+54 3755) 422 179 – 422 170 www.fiobera.unam.edu.ar e-mail:facing@fiobera.unam.edu.ar
CP3360 Oberá Misiones Argentina

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL Y LA TEORÍA DE MODELOS FÍSICOS EN INGENIERÍA

Cuando se estudian fenómenos o procesos en los cuales intervienen muchas
variables relacionadas entre sí, de modo tal que no es viable hallar una
formulación matemática adecuada que los represente, es posible recurrir a la
experimentación con modelos físicos.Mediante ellos se reproducen, en una
escala apropiada, los fenómenos o procesos que se requiere estudiar, de modo
que los resultados obtenidos por medio de la experimentación con los modelos
proporcionen información acerca de los fenómenos o procesos reales en estudio.
Otras veces resulta más apropiado utilizar los denominados modelos análogos,
mediante los cuales un determinado fenómeno oproceso, para su estudio, se
sustituye por otro de distinta naturaleza pero que se comporta de manera
análoga al fenómeno o proceso real. En otras palabras, se dice que dos
fenómenos son análogos si las ecuaciones que los representan responden a la
misma forma matemática, aunque difieran en el significado de las variables y
parámetros.
A modo de ejemplo ilustrativo,
considérese el circuitoeléctrico y el
sistema masa-resorte-amortiguador
representados esquemáticamente en
la figura 1.
Aplicando la ley de Kirchhoff de los
voltajes al circuito eléctrico, la
ecuación integro-diferencial que rige
su comportamiento puede escribirse
como:

i

u

L

kr

ka

R
C

x =0

m
F

Figura 1:

x

Analogía entre un sistema eléctrico
y un sistema mecánico.

t

L⋅

1di
+ R ⋅ i + ⋅ ∫ i ⋅ dt = u
dt
C

(1)

0

Donde L es la inductancia, R la resistencia, C la capacitancia, u el voltaje
aplicado e i la intensidad de corriente. El primer término a la izquierda del signo
igual en (1) es el voltaje en bornes de la inductancia, el segundo y el tercero son
los voltajes en bornes de la resistencia y la capacitancia, respectivamente.
Recordando que laintegral entre 0 y t de la intensidad de corriente i es igual a la
carga eléctrica transportada en ese intervalo, se deducen las siguientes
relaciones:
t
 ∫ i ⋅ dt = q
0

dq

i =
dt

 di d 2q
 dt =
dt 2


MODELACIÓN EN INGENIERÍA – MATERIAL DIDÁCTICO N o 1 – Año 2013 –

(2)

2

INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS DIMENSIONAL Y LA TEORÍA DE MODELOS FÍSICOS EN INGENIERÍA...