Modelo Binomial Geometrico Hipergeometrico

MODELO BINOMIAL
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos.

FORMULA BINOMIAL
P Probabilidad de éxito.
Q Probabilidad de fracaso. q(1-p)
r Número de éxitos deseados.
n Número deensayos efectuados. 

Probabilidad de r éxitos en n ensayos es : N! / R! (N-R)! PR QN-R

CARACTERISTICAS 
1. cada lanzamiento tiene sólo dos resultados posibles: lado A o lado B, sí o no, éxito o fracaso.

2. La probabilidad del resultado de cualquier lanzamiento permanece fija con el tiempo. (Tratándose de una moneda la probabilidad de que salga de el lado A sigue siendo de 0.5 en cadalanzamiento, cualquiera que sea el número de veces que la moneda sea arrojada. )

3. Los ensayos son estadísticamente independientes

EJEMPLO
Imaginemos una escuela primaria donde los alumnos llegan tarde a menudo. 
Cinco alumnos están en el jardín de niños. La directora lleva tiempo estudiando el problema, habiendo llegado a la conclusión de que hay una probabilidad de 0.4 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnos lleguen independientemente uno de otro
¿Cómo trazamos una distribución binomial de probabilidad que ilustre las probabilidades de que 0,1,2,3,4 ó 5 estudiantes lleguen tarde simultáneamente? 
Para hacerlo necesitaremos utilizar la fórmula binomial donde : 
P= 0.4 Q= 0.6 N= 5
Realicemos el cálculo de cada valor de R: Para R= 0 obtenemos que : 
P(0) = 5!/0!(5-0)! (0.4 )0 (0.6)5 P(0) = 0.07776 Para R= 1 obtenemos que :
P(1) = 5!/ 1!(5-1)! (0.4 )1 (0.6)4 P(1) = 0.2592 Para R=2 obtenemos que:
P(2) = 5!/ 2!(5-2)! (0.4 )2 (0.6)3 P(2) = 0.3456 Para R= 3 obtenemos que :
P(3) = 5!/ 3!(5-3)! (0.4 )3 (0.6)2 P(3) = 0.2304 Para R= 4 obtenemos que :
P(4) = 5!/ 4!(5-4)! (0.4 )4 (0.6)1 P(4) = 0.0768 Para R= 5 obtenemos que :
P(5) = 5!/ 5!(5-5)! (0.4 )5 (0.6)0P(5) = 0.01024

.
MODELO GEOMETRICO
* DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
En el marco de repeticiones independientes de Pruebas de Bernoulli con parámetro “P” se define como el número de pruebas necesarias hasta
conseguir que ocurra el evento A por primera vez. Este experimento se denomina experimento Geométrico y define una variable aleatoria
Geométrica.

El modelo Geométrico es una variablealeatoria que se define
como el número de repeticiones independientes de una Prueba de Bernoulli hasta
que ocurre el evento A.

CARACTERISTICAS
- La variable aleatoria tomará cualquier valor entero mayor o
igual a uno.
- El modelo Geométrico se denotará como G(p), donde p es la
probabilidad de que ocurra el evento A en cada Prueba de
Bernoulli.
- La asignación de probabilidades de cadavalor de la variable está dada por la ecuación 1

Ecuación 1
Como consecuencia de la Ecuación 1, la función de distribución acumulativa de
probabilidades, la función de densidad de probabilidades y la función de
probabilidad vienen dadas por las ecuaciones 2, 3 y 4, respectivamente.

Para darse una idea se plantean los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:La probabilidad de que ocurra el eventoA en una Prueba de
Bernoulli es 0.6. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten exactamente 5 pruebas
para conseguir el resultado A por primera vez?.
La variable aleatoria así definida se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p = 0.6. La probabilidad que se solicita viene dada por

Ejemplo 2:Considere una caja con R pelotas rojas y A pelotas amarillas. Se va a
realizar unmuestreo con reposición hasta obtener una pelota amarilla. ¿Cuál es la
probabilidad de que realicen exactamente 3 extracciones para conseguir la
primera pelota amarilla?.
La variable aleatoria así definida se corresponde con el modelo Geométrico con
parámetro p =A/A+R
. La probabilidad que se solicita viene dada por

Ejemplo 3:Un estudiante tiene probabilidad de 0.8 de aprobar el curso de...