DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA HIPERGEOMETRICA 1


DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

 La distribución geométrica es un modelo adecuado para aquellos procesos en los que se repiten pruebas hasta la consecución del éxito a resultado deseado y tiene interesantes aplicaciones en los muestreos realizados de esta manera. También implica la existencia de una dicotomía de posibles resultados y la independencia de las pruebas entre sí.

En teoría deprobabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

la distribución de probabilidad del número X del ensayo de HYPERLINK "https://es.wikipedia.org/wiki/Ensayo_de_Bernoulli"Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o

la distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antesdel primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
PROPIEDADES:

Cuando se desea que ocurra un éxito por primera y única vez la distribución es un caso especial Binomial, ya que, para obtener la fórmula de esta distribución.

Si una variable aleatoria discreta X definida en un espacio de probabilidad representa el número de repeticiones necesarias de un experimento de Bernoulli1 paraobtener el primer éxito, entonces tiene por función de densidad: X-1



P (x=x) = función de densidad, de la variable aleatoria con distribución geométrica.
X Numero de experimentos hasta que aparece el 1er éxito.
p probabilidad de éxito
q probabilidad de fracaso (1 - p)





Cuando tenemos algunos fallos antes del primer éxito: Definamos una experiencia aleatoria cuyo resultado sólo puede ser elsuceso A o su complementario Ac, y que se repite secuencialmente hasta que aparece el suceso A por primera vez.
Definamos la variable aleatoria X como el número de veces que repetimos la experiencia en condiciones independientes hasta que se dé A por primera vez. Bajo estas condiciones, decimos que la variable X sigue una distribución geométrica o de Pascal de parámetro p = P(A).
La función dedensidad puede deducirse fácilmente de la definición:
Equivalentemente, la probabilidad de que haya x fallos antes del primer éxito es:



Para x = 1, 2, 3,....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una progresión geométrica.


Ejemplo 1:
Del salón el 60% de los alumnos son hombres, calcular probabilidad de extraer el 1er hombre a la cuarta ocasión que extraemos un alumno.

Definiréxito: sea hombre.

x = 4
p = 0.60
q = 0.40




Ejemplo 2:
Calcular la probabilidad de que salga el No. 5 a la tercera vez que lanzamos un dado.

Definir éxito: sale No. 5

x = 3
p = 1/6 = 0. 1666
q = (1 - 0.16660) = 0.8333
P(X=3) = (0.8333)2(0.1666) =0.1156



Ejemplo 3:
En el salón hay 8 alumnos de ojos cafés, 9 de ojos azules, 7 de ojos negros, y 10 de ojos verdes; si extraemos 6 alumnos,calcular la probabilidad de que este ultimo tenga los ojos claros.

Definir éxito: tenga ojos claros.

X = 6
p = 0.5588
q = 1- 0.5588 = 0.4412
P(X=6) = (0.4412)5(0.5588) = 0.0093 = 9.3418 x 10




Media y Variancia
 
 La media y la variancia de la distribución Geométrica se obtiene en la forma siguiente:
 

 

 
 
Ejemplo:
Se lanzan 2 dados hasta que la suma de los números que aparecen sea 7.Calcular:
a)        La esperanza del número de lanzamientos que se necesiten.
b)        La variancia del número de lanzamientos que se necesiten.
 
Solución.
 El éxito en este experimento es que la suma de los números que aparecen sea 7, por lo que el primer paso es el cálculo de su probabilidad.
 Ahora calculemos el número de formas posibles en que aparece el 7. Los posibles resultados son: {(1, 6) (2,5) (3, 4) (4, 3) (5, 2) (6, 1)} y aplicando la función de conjunto aditivo vemos que son 6 resultados, por lo que p = 6/36 = 1/6 y q = 5/6.
 
a)    Sabemos que para calcular el valor esperado utilizamos el modelo matemático que dice   y sustituyendo valores:
  
 
 
b)    La variancia del número de lanzamientos se calcula con:  
 





DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

 Hasta ahora hemos analizado...