Modelo Depredador Presa

Modelo depredador-presa




Marco teórico

Este modelo se considera como la primera teoría determinista sistematizada de la dinámica de poblaciones, creada por El matemático italiano Volterra.
El concepto depredador-presa se puede definir mediante un ejemplo ahora podemos considerar un hábitat en donde coexisten dos especies que interaccionan entre ellas. Por una parte, tenemos la especieP (la presa: conejos) y que en ausencia de depredadores, es capaz de crecer de forma ilimitada a una tasa de crecimiento a > 0 (los conejos se alimentan de hierba y en un ambiente sin depredadores y con recursos ilimitados, crecerá). Por otra parte, tenemos la otra especie D (depredador: zorros)
que en ausencia de presa y, por tanto, de comida, decrece con una tasa negativa ¡b. Es decir,P0(t) = aP(t); si D = 0

D0(t) = ¡bD(t); si P = 0

Pero, obviamente, los zorros se comen a los conejos y, por tanto, la población de conejos se vera mermada en presencia de zorros y viceversa, la población de zorros se vera aumentada en presencia de conejos. Esta ley explica la interacción existente entre ambas especies y nos da pistas para encontrar los términos adecuados que modelicen estasituación. En términos de las tasas de crecimientos y mortalidad parece natural asumir que la tasa de mortalidad de la presa P debe ser proporcional al número de depredadores presentes, es decir, ¡cD, de forma que la tasa de crecimiento de P será a¡cD. De forma similar, la tasa de nacimientos del depredador D será proporcional al número de presas, eP , de forma que la tasa de crecimiento de este es dela forma ¡b+eP . Las ecuaciones quedan, por tanto,


con a; b; c; e constantes positivas y características de las especies en cuestión. Estas son las ecuaciones de Lotka-Volterra, que fueron propuestas por Volterra en el año 1926 para explicar las oscilaciones encontradas en el volumen de pesca de ciertas especies de peces en el mar adriático. También Lotka había estudiado estas ecuacionespara explicar las oscilaciones observadas en cierta reacción química.

Buscamos, por tanto, funciones (P(t);D(t)) que sean solución del sistema de ecuaciones Obviamente, esta solución dependerá de la cantidad inicial presente de depredadores y presa, es decir, de (P(0);D(0)). No obstante, estudiando la ecuación, podemos obtener ya algunas soluciones particulares de esta. Por ejemplo, las funcionesconstantes


son soluciones de la ecuación. Si las condiciones iniciales (P(0);D(0)) = (b=e; a=c), entonces, el numero de presas y de depredadores permanecerá constante. A estas soluciones se les denomina estacionarias o puntos de equilibrio. En ellas se da un alcance tal que la tasa de crecimiento de ambas especies es cero y, por tanto, el numero de habitantes de depredadores y presaspermanece constante. Para obtener la solución general, dividimos la primera ecuación por la segunda y obtenemos una ecuación en términos de las variables P y D.



que es de variables separables. Separando las variables, obtenemos

e integrando




donde K es una constante arbitraria. Por tanto,




Obviamente, la constante K depende de las condiciones iniciales y debe ser K = eP (0)+ cD(0) ¡ log(P(0)bD(0)a). Por tanto, dado unos valores iniciales (P(0);D(0)) se calcula la constante K y la solución esta sobre la curva dada por la ecuación (3.8). Un análisis detallado de las curvas dadas por la ecuación (3.8) en el plano (P;D) revela que todas ellas son curvas cerradas alrededor del punto de equilibrio (b=e; a=c).
Las funciones P(t) y D(t) son periódicas, con el mismoperiodo pero con distinta fase.





Esto es lo que intentaba explicar V. Volterra con su modelo aplicado
a dos especies de peces distintas, una depredadora y la otra presa. Se
observaba que el volumen de recogida de peces de ambas especies en el
mar Adriático era periódico aunque la fase era distinta.





Volterra, basándose en esto, formulo la ley que posteriormente se llamaría...