Modelos matemáticos


Taller de Aplicaciones Matemáticas



Aplicaciones matemáticas


Reporte 1: “Modelos y más modelos”





Escenario:

Una universidad reconocida de México ha invitado a tu grupo a que participen en un concurso para presentar un panorama de los diferentes modelos que pueden presentarse en la modelación matemática de crecimiento de poblaciones y epidemias, sus diferentes variablesy componentes.

Los ganadores del concurso participarán en un proyecto a nivel nacional sobre la propagación del ébola y sus alcances que les bridará la oportunidad de participar en programas de posgrado de primer nivel.

Problema:

Una vez analizado el escenario se planteó el problema a resolver en varias ocasiones hasta llegar a definir el más adecuado para el caso ya que no se puededefinir un problema que no se pueda resolver con las herramientas y conocimientos matemáticos con los que contamos, se estableció el siguiente:

Encontrar diferentes modelos matemáticos establecidos que puedan describir el crecimiento de poblaciones y epidemias.


Proceso de resolución del problema:

Previamente se realizó una investigación en donde encontramos diferentes modelos pararepresentar el crecimiento de poblaciones y epidemias. En este apartado se describirá cada uno de ellos.

Principalmente se debe de conocer el concepto de crecimiento de una población, siendo el incremento en el número de individuos que componen una sociedad en cada una de las generaciones. Este crecimiento depende de factores importantes como la tasa de natalidad, que es característica decada especie y esta a su vez varía dependiendo de ciertos factores ambientales y del número de individuos reproductores de que se parte.

Por otro lado una epidemia es una enfermedad que se propaga durante un cierto periodo de tiempo en una zona geográfica determinada y que afecta simultáneamente a muchas personas.

Para poder describir este tipos de fenómenos se hace uso de modelosmatemáticos existentes que contentan el material necesario para una mejor explicación y a su vez compresión de ellos.

Un modelo matemático es un arreglo que describe matemáticamente un fenómeno o situación considerando variables, parámetros y sus relaciones para estudiar su comportamiento de manera más sencilla.


Modelos para crecimiento poblacional:

Entre los modelos que consideramosmás adecuados para el crecimiento poblacional están:

Modelo dinámico: representa procesos que simulan los mecanismos de cambio y puede estudiarse la sucesión temporal.
Regularmente una dinámica de población se hace estudiando propiedades como densidad, natalidad y mortalidad. Hay dos formas de representarlo:


Modelo exponencial
Modelo logístico


Modelo dinámico exponencial:

Lasprincipales variables de este método son la tasa de mortalidad (TM), taza de natalidad (TN), el número inicial de individuos (N0).
Para lograr estimar los resultados mediante éste método es necesario basarse en los siguientes puntos:

Principalmente se debe conocer que en una generación el número inicial de individuos no se verá incrementado en N0•TN.
Para lo cual se obtiene:N1 = N0 + N0•TN = N0•(1 + TN)………………………………………………….(Ec.1)

Por lo tanto deberemos notar un hecho completamente contrario, el cual genera que cierto número de individuos mueran. La proporción de muertes respecto al total es la tasa de mortalidad TM. Luego:

N1 = N0•(1 + TN - TM)…………………………………………………….……….(Ec.2)

Ahora bien, la relación de TN y TM determina el incremento real de N0.La diferencia entre TN y TM es la tasa intrínseca de crecimiento de una población, cuyo valor máximo se denomina como potencial biótico (r), el cual es característico de cada especie:

r = TN – TM………………………………………………………………………...... (Ec.3)

N1 = N0•(1 + r)……………………………………………………………………...(Ec.4)

Y en la siguiente generación tendremos:

N2 = N1 (1 + r) = N0 (1 + r) (1 + r) = N0 (1 +...