MODULOS NOETERIANOS

Introducción
La idea de este Seminario es que el lector interesado cuente con
material que le sirva como guía de consulta.
Para la realización de este Seminario se tuvo como base principal
el Capítulo I, sobre el cual desarrollaremos con mayor profundidad
los otros Capítulos.
El Capítulo sobre los preliminares (Capitulo I), fue hecho como un
Capitulo introductorio al Capítulo de Anillos yMódulos
Noetherianos.
El Capítulo sobre Condiciones de Cadena (Capítulo II) es una base
fundamental para el Capítulo III y Capítulo IV, ya que nos
proporciona ciertos conocimientos y herramientas suficientes para
determinar si un Anillo y Módulo son Noetherianos.
El Capítulo III y el Capitulo IV, trata sobre el tema central de este
seminario que son los Anillos y Módulos Noetherianos.
ElCapítulo IV concluye con el teorema de la base de Hilbert que es
muy importante para determinar si un Anillo es Noetheriano

1

INDICE
………………………………………………

2

1. Teoría de Grupos

…………………………………………..…

5

2. Subgrupos

……………………………………………..

7

3. Homomorfismo de Grupos

……………………………………………..

8

4. Anillo

……………………………………………..

8

Introducción

Capítulo IPreliminares

5. Anillos sin Divisores de cero ……………………………………………..

12

6. Subanillos

………………………………………………

13

7. Ideales

………………………………………………

13

8. Homomorfismo de Anillos

………………………………………………

15

9. Módulos

………………………………………………

18

10. Submódulos

……………………………………………….

21

11. Homomorfismo de Módulos ……………………………………………….

22

12. Producto Directo y Suma
Directa deMódulos

………………………………………………..

23

13. Módulos de tipo Finito

………………………………………………..

23
2

………………………………………………..

26

…………………………………………………

34

Conjunto Parcialmente Ordenado…………………………………………………

34

Sucesión Creciente Estacionaria …………………………………………………

34

14. Sucesiones Exactas

Capítulo II
Condiciones de Cadena

Capítulo III
…………………………………………………

47

MódulosNoetherianos

…………………………………………………

51

Teorema de la Base de Hilbert

…………………………………………………

57

Anillos Noetherianos

Capítulo IV

3

CAPITULO I
PRELIMINARES
1. TEORIA DE GRUPOS
Definición 1.1.1:
Sea un conjunto no vacío G , y una función  . El par  G,  es una grupo si y solo si

 es una ley de composición interna en G , asociativa, con neutro y tal que todo
elemento de Gadmite inverso con respecto a  .
En forma simbólica se tiene:

 G , 

es un grupo si y solo si se verifican los siguientes axiomas.

(G1) Cerradura:
 a, b  G, entonces a  b  G

 : GG  G

 a, b 

  a, b   a  b,

 a, b  G

(G2) Asociativa:

 a, b, c  G, entonces  a  b   c  a  b  c 
(G3) Existencia del elemento Neutro o Identidad:
 e  G tal quea  e  e  a  a, a  G

(G4) Existencia del Inverso:
 a  G,  b  G tal que a  b  b  a  e

Si además se verifica que:
(G5) Conmutativa:
a  b  b  a,

 a, b  G

4

Entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano.
Ejemplo 1:
Sea G 

, el conjunto de los números enteros con la suma usual en los enteros.
:



Decimos que

 
(a, b) (a, b)  a  b,

 a,b 

,   es un grupo abeliano aditivo.

De igual manera



,  ,  ,  y



,   son grupos abelianos aditivos.

Ejemplo 2:
Sea G 

el conjunto de los números naturales con la suma usual en los naturales
:



Decimos que
aditivo.

 
(a, b) (a, b)  a  b,

 a, b 

,   no es un grupo pues carece de neutro aditivo y de inverso

Ejemplo 3:
Sea

n 1, n  , entonces el conjunto

n



 0, 1, 2,



, n 1

de los enteros

módulo n , es un conjunto que tiene n clases de equivalencias, se define:

:

n





n

(a , b )  a  b,

(a , b )
Luego, se tiene que



n

n

 a,b 

n

,   es un grupo abeliano.

Ejemplo 4:
Sea X   x1 , x2 ,


, xn  un conjunto finito, G   f : X  X tal...