Movimiento armonico simple

Problemas resueltos sobre Movimiento Armónico Simple

1) La ecuación de un m.a.s. es x(t) = 2 cos 30(t, , en la que x es la elongación en cm y t en s. ¿Cuáles son la amplitud, la frecuencia y el período de este movimiento? Solución_1

2) En un m.a.s. la elongación en cm es x(t) = 0,4 cos (10(t – (/3), siendo t el tiempo en s. Calcular la elongación, velocidad y aceleración del móvil en losinstantes t = 0 s y t = 1/120 s. Solución_2

3) La aceleración (en m/s2) de un m.a.s. en función de la elongación (en m) a = (256 x. Expresar esta aceleración en función del tiempo sabiendo que la amplitud de la vibración es de 2,5 cm. Considérese nula la constante de fase. Solución_3

4) La abcisa de un móvil en función del tiempo en s es la función x(t)= 4 sen 10t + 3 cos 10t cm. Expresar suaceleración en función del tiempo y demostrar que se trata de un m.a.s. Solución_4

5) La velocidad en m/s de un m.a.s. es v(t) = —0,36( sen ((24t + 1), donde t es el tiempo en s. ¿Cuáles son la frecuencia y la amplitud de ese movimiento? Escribir la expresión de su elongación en función del tiempo. Solución_5

6) Calcular la velocidad y aceleración máximas del m.a.s. cuya ecuación es x(t) =5 cos (4(t + (/6), en la que x es la elongación en cm y t el tiempo en s. Solución_6

7) La elongación en cm de un m.a.s. es x = 4 cos 10t, donde t es el tiempo en s. Calcular la aceleración en el instante en que la elongación es de 3 cm. Solución_7

SOLUCION

1) Sabemos que la elongación de un m.a.s. está dada por una ecuación del tipo
[pic]
aunque pudiera serigualmente una función seno. Así que bastaría comparar con la ecuación dada,
[pic]
para obtener inmediatamente los resultados:
[pic]
En cuanto al periodo y la frecuencia, ya que [pic], sería tan simple como
[pic]

2) Si la ecuación de elongaciones es [pic], las de velocidad y aceleración se obtienen por simple derivación:
[pic]
[pic]
ysólo habría que usarlas en los instantes propuestos, t = 0 s y t = 1/20 s. En el tiempo t = 0 s, la fase del movimiento vale
[pic]
y en el tiempo t = 1/20 s, la fase es
[pic]
de forma que, al tiempo t = 0 s, los valores pedidos son
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)

Entre otras cosas, hay que notar que laposición en ese momento está a mitad de camino entre el centro de equilibrio y la amplitud (0,2 cm es la elongación; la amplitud es 0,4 cm), mientras que la velocidad de 10,88 cm/s no es de ninguna manera la mitad de la velocidad máxima (de ±12,57 cm/s, como es fácil de ver). ¿Qué comentarios pueden hacerse sobre esto?

Veamos ahora los valores de elongación, velocidad y aceleración altiempo 1/20 s:
[pic] (4)
[pic] (5)
[pic] (6)

de modo que, en este momento, la velocidad está dirigida en sentido negativo y vale la mitad del valor máximo (±12,57 cm/s, como ya se hizo notar). Esto permite responder la pregunta hecha anteriormente: la velocidad del móvil alcanza su valor máximo (( 12,57cm/s) cuando pasa por el centro de las oscilaciones (x = 0 cm), y va disminuyendo cuando se desplaza hacia el extremo de la oscilación (sea en x = 0,4 cm, sea en x = – 0,4 cm); pero no lo hace de forma lineal, ya que la aceleración se va haciendo más grande a medida que el móvil se acerca al extremo. En otras palabras, se pierde la mayor parte de la velocidad cuando se está ya cerca del extremo de latrayectoria: esto puede comprobarse mirando con atención los valores obtenidos en los resultados (1) a (6).

3) Tenemos a = – 256 x , con x medido en m y a en m/s2. Como se sabe, en un m.a.s. la ecuación fundamental es
[pic]
[pic]
de forma que resulta evidente que
[pic]
De otro lado, las ecuaciones temporales de elongación, velocidad y aceleración son del tipo
[pic]
donde φ0...