Movimiento Rectilineo

Ecuaciones Diferenciales
Jos´ Vicente Romero Bauset e jvromero@mat.upv.es

Ecuaciones Diferenciales

Tema 2: Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden 1

Ecuaciones Diferenciales

Ecuaciones diferenciales separables
EDO separable Una EDO de orden 1 F (t, y , y ) se dice separable si puede ser escrita de la forma A(t) A(t)dt = B(y )dy y = , y = C (t)D(y ) B(y ) Resoluci´n o A(t)dt =t

B(y )dy + K
y

A(t)dt =
t0 y0

B(y )dy

Ejercicio El ritmo al que se enfr´ un cuerpo caliente es proporcional a la diferencia de ıa temperatura entre ´l y el ambiente que lo rodea (ley de enfriamiento de Newton). e Un cuerpo se calienta a 110o C y se expone al ambiente a una temperatura de 10o C. Al cabo de una hora su temperatura es de 60o C. ¿Cu´nto tiempo adicional a debetranscurrir para que se enfr´ a 30o C? ıe
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EDO homog´neas e
Funci´n homog´nea o e f (x, y ) es una funci´n homog´nea de grado n si o e f (λ x, λ y ) = λ n f (x, y ). EDO homog´nea e Una EDO de primer orden M(x, y )dx + N(x, y )dy = 0 es homog´nea si M y N son funciones homog´neas del mismo grado. e e Nota Definiciones equivalentes a la anterior son: • y = f (x, y ) eshomog´nea si f (x, y ) es homog´nea de grado 0 e e y • y =f x
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EDO homog´neas e
Resoluci´n o 1o Con el cambio u = y → x variables separables: y = ux y = u x +u Se obtiene E.D.O de

y = f (x, y ) ⇐⇒ u x + u = f (1, u) 2o Resolvemos la E.D.O separable. 3o Deshacemos el cambio. Ejercicios t 3 y = t 2 y − 2y 3 Encuentra la forma de un espejo curvo en el que la luz de una fuenteen el origen se separe en un haz de rayos paralelos al eje X.

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Ecuaciones reducibles a separables

y =

ax + by + c dx + ey + f

y =f

ax + by + c dx + ey + f

Casos posibles • c = f = 0 es homog´nea e • b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables • ae − bd = 0 • ae − bd = 0

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Ecuaciones reducibles a separables
ax + by +c dx + ey + f ax + by + c dx + ey + f

y =

y =f

Caso ae − bd = 0 1o Se calcula el punto de corte (x0 , y0 ) de las rectas: ax + by + c = 0 dx + ey + f = 0 2o Se aplica el siguiente cambio que conduce a E.D.O homog´nea: e  x = X + x0  X = x − x0 ⇐⇒ y = Y + y0  Y = y − y0  y =Y 3o Resolvemos la E.D.O homog´nea y deshacemos el cambio. e
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Ecuacionesreducibles a separables:Ejemplo
(6x + 4y − 8) d x + (x + y − 1) d y = 0 Las rectas 6x + 4y − 8 = 0 y x + y − 1 = 0 no son paralelas y se cortan en el punto x = 2 e y = −1. Se hace el cambio de variable x = X + 2, y = Y − 1. dY 6X + 4Y = , homog´nea Y = uX e dX −X − Y − − − − − − −→ 6X + 4Xu 6 + 4u −1 − u dX du = = ⇒ 2 du = u +X dX −X − Xu −1 − u u + 5u + 6 X 1 −2 u+2 ln CX = du + d u = ln u+2 u+3 (u + 3)2y +1 +2 C (x − 2) = x−2 = 2 y +1 +3 x−2 y + 1 + 2x − 4 = C, (3x + y − 5)2 2x + y − 3 = C (3x + y − 5)2
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Ecuaciones reducibles a separables
y = ax + by + c dx + ey + f y =f ax + by + c dx + ey + f Caso ae − bd = 0 Se cumple que ambas rectas son paralelas, por tanto se cumplir´ que: a 1o ∃k ∈ R/ax + by = k(dx + ey ) Si e = 0 se realiza el cambio:  y = 1 (t − dx)  et = t(x) = dx + ey ⇒  y = 1 (t − d) e 2o Se resuelve la E.D.O de variables separables a la que conduce el cambio: 1 tk + c (t − d) = e t +f 3o Deshacemos el cambio.

Nota Si e = 0 se hace el cambio t = ax + by
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Ecuaciones reducibles a separables:Ejemplo
(x + y + 1) d x + (2x + 2y − 1) d y = 0 Las rectas x + y + 1 = 0 y 2x + 2y − 1 = 0 son paralelas. Se hace elcambio de variable z = x + y 1 + dz dy = . dx dx

dz z +1 dz z + 1 − 2z + 1 −1 = , = dx −2z + 1 d x 1 − 2z 1 − 2z dz = dx 2−z 2− 3 2−z dz = d x + C , 2z − 3 ln |2 − z| = x + C

2(x + y ) + 3 ln |2 − (x + y )| = x + C
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Ecuaciones diferenciales exactas
EDO exacta Una ecuaci´n diferencial M(t, y )dt + N(t, y )dy = 0 es exacta si existe una o funci´n F (t, y ),...