Mumeros reales

LOS NUMEROS REALES

Conjunto no vacío designado como ( y denominado conjunto de los números reales. En él se define una relación de igualdad “ = ” y dos operaciones algebraicas “ + ” y “ . ”

Relación de igualdad

Definición: R = ((a,b) en que a ( b ( ( ( a R b (

Propiedades de la relación “ = ” :
A1 Reflexividad : ( a ( ( ( a = a
A2 Simetría :[pic] ( a, b ( (, si a = b ( b = a
A3 Transitividad : [pic]( a, b, c ( (, si a = b ( b = c ( a = c

Operaciones en (

Definición: Adición o Suma (+) : (a,b) ( ( ( a + b ( (

Multiplicación o producto ( . ) : (a,b) ( ( ( a . b ( (

Propiedades de las operaciones ( + ) y ( . ) :

B1 Conmutatividad :a + b = b + a

B2 Asociatividad : a + ( b + c ) = ( a + b ) + a

B3 Existe un elemento identidad para la suma : a + 0 = 0 + a = a

B4 Existencia de elementos inversos para la suma : a + (-a) = (-a) + a = 0

B5Conmutatividad : a . b = b . a

B6 Asociatividad : a . ( b . c ) = ( a . b ) . c

B7 Existe un elemento identidad para la multiplicación: a . 1 = 1 . a = a

B8 Existencia de inversos para la multiplicación, si a ( 0: a . a-1 = a-1 . a = 1

B9 Ley distributiva: a . ( b + c ) = a . b + a . c

La compatibilidad entre estas dos operaciones y la relación de igualdad, se establece mediante las leyes:
Si a = b ( a + c = b + c ; Si a = b ( a . c = b . c

Teorema 1. En (, loselementos identidad para la suma y para la multiplicación (neutro aditivo y multiplicativo respec.) son únicos.

Demostración: Se emplea el Método de Reducción al Absurdo. Supongamos la existencia de otro elemento neutro para la suma, designado como 0* ( 0. Entonces aplicando B2 se tiene:
0* + 0 = 0 y 0 + 0* = 0*Por conmutatividad (B1) y aplicando transitividad (A3), se concluye que 0 = 0* (( la suposición de la Hipót., luego es falso que 0* ( 0 y entonces el neutro para la suma es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del neutro multiplicativo.

Teorema 2. En (, los elementos inversos para la suma y para la multiplicación son únicos.Demostración: Dado a ( (, supongamos ( (-a) y a´ elementos inversos de a para la suma en que (-a) ( a´. Entonces se cumple:

a + (-a) = 0 y a + a´ = 0 ( a + (-a) = a + a´ (
( a + (-a) ( + (-a) = ( a + a´ ( + (-a) ( 0 + (-a) = ( a + (-a) ( + a´ luego
(-a) = a´ (( la Hipótesis ( Esfalso (-a) ( a´ y el inverso aditivo es único.

TAREA: Demostrar en forma análoga la unicidad del inverso multiplicativo.

Teorema 3: i) El cero es el inverso aditivo de sí mismo: (-0) = 0
ii) El uno es inverso multiplicativo de sí mismo: 1-1 = 1

Demostración: i) a + (-a) = 0 y el inverso aditivo es único, luego sia = 0 entonces: 0 + (-0) = 0 por lo tanto: (-0) = 0
ii) Demostrar de manera análoga.

COROLARIO: i) Por unicidad del inverso aditivo, si a + b = 0 ( a = -b y
b = -a
ii)...