Reales

N´
umeros Reales R

Def: El conjunto de los n´
umeros Reales consta de:
Un Conjunto R
Una operaci´on + : R × R → R llamada Suma
Una operaci´on · : R × R → R llamada Producto
Un subcojunto P de R llamado de N´
umeros Positivos
Que cumplen:
Ley asociativa para la suma
(P1) a + (b + c) = (a + b) + c ∀ a, b, c ∈ R
Existencia de una identidad para la suma
(P2) ∃ 0 ∈ R tal que a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈R
Existencia de inversos para la suma
(P3) ∀ a ∈ R ∃ − a ∈ R tal que a + (−a) = (−a) + a = 0
Ley conmutativa para la suma
(P4) a + b = b + a ∀ a, b ∈ R
Ley asociativa para la multiplicaci´on
(P5) a · (b · c) = (a · b) · c ∀ a, b, c ∈ R
Existencia de una identidad para la multiplicaci´on
(P6) ∃ 1 ∈ R tal que 1 = 0 y a · 1 = 1 · a = a ∀ a ∈ R
Existencia de inversos para la multiplicaci´on
(P7) ∀ a ∈R − {0} ∃ a−1 ∈ R tal que a · a−1 = a−1 · a = 1
Ley conmutativa para la multiplicaci´on
(P8) a · b = b · a ∀ a, b ∈ R
Ley distributiva

1

(P9) a · (b + c) = a · b + a · c ∀ a, b, c ∈ R
(P10) ∀ a ∈ R se cumple una y s´olo una de las siguientes proposiciones:
Ley de tricotom´ıa
(ı)a = 0

(ıı)a ∈ P

(ııı) − a ∈ P

La suma de positivos es cerrada
(P11) a, b ∈ P

⇒ a+b∈P

La multiplicaci´on depositivos es cerrada
(P12) a, b ∈ P

⇒ a·b∈P

Teorema 1. El cero es u
´nico.
Demostraci´on. Si hubiera dos 01 y 02 se verificar´ıa
01 = 01 + 02 = 02 + 01 = 02

Teorema 2. El inverso aditivo es u
´nico.
Demostraci´on. Si hubiera dos y1 y y2 se verificar´ıa x + y1 = x + y2 = 0 por lo tanto
y2 = 0 + y2 = (x + y1 ) + y2 = x + (y1 + y2 ) = x + (y2 + y1 ) = (x + y2 ) + y1 = 0 + y1 = y1

Teorema 3. El neutromultiplicativo es u
´nico.
Demostraci´on. Si hubiera dos y1 y y2 se verificar´ıa
y1 = y1 · y2 = y2 · y1 = y2

Teorema 4. El inverso multiplicativo es u
´nico.
2

Demostraci´on. Si hubiera dos y1 y y2 se verificar´ıa x · y1 = x · y2 = 1 por lo tanto
y2 = 1 · y2 = (x · y1 ) · y2 = x · (y1 · y2 ) = x · (y2 · y1 ) = (x · y2 ) · y1 = 1 · y1 = y1

Teorema 5. Si a + c = b + c entonces a = bDemostraci´on. Por (P2)
(P1) ⇒

Por (P3)

⇒

= a + (c + (−c))

Por

= (a + c) + (−c)

Por hip´otesis:
(P2) ⇒

a = a+0

= (b + c) + (−c)

Por (P1)

⇒

= b + (c + (−c))

Por

=b+0=b

∴ a=b
Teorema 6. Dados a, b ∈ R existe un u
´nico x ∈ R tal que a+x = b. Este x se designa x = b−a
Demostraci´on. Tenemos que
x = x + 0 = x + (a + (−a)) = (x + a) + (−a) = (a + x) + (−a) = b + (−a) = b − a

Teorema 7. b-a=b+(-a)Demostraci´on. Sea x = b − a y sea y = b + (−a) demostraremos que x = y Tenemos que por
definici´on x = b − a ⇒ x + a = b por lo tanto
y + a = (b + (−a)) + a = b + (a + (−a)) = b + 0 = b
por lo tanto x + a = y + a ⇒ x = y
Teorema 8. Si a + d = a ∀ a ∈ R entonces d = 0
Demostraci´on. Por (P2)
(P1) ⇒
Por (P8)
0

d = d+0

Por (P3)

⇒

= d + (a + (−a))

Por

= (d + a) + (−a)
⇒

= (a + d) + (−a)

PorHip´otesis

∴ d=0
3

= a + (−a)

Por (P3)

⇒

=

Teorema 9. Dado a ∈ R si a + d = 0 entonces d = −a
Demostraci´on. Por (P2)
(P1) ⇒

Por (P3)

⇒

= d + (a + (−a))

Por

= (d + a) + (−a)

Por (P8)
−a

d = d+0

⇒

= (a + d) + (−a)

Por Hip´otesis

= 0 + (−a)

Por (P2)

⇒

=

∴ d = −a

Teorema 10. −(−a) = a ∀ a ∈ R
Demostraci´on. Tenemos
(P3) ⇒= 0

∴

− (−a) + (−a) = 0 Haciendo r = −a

⇒

−r+r

Por

− (−a)= a

Teorema 11. Si x = 0 y xy = xz entonces y = z
Demostraci´on. y = y · 1 = y · (x · x−1 ) = (yx) · x−1 = (xz)x−1 = z(xx−1 )z · 1 = z
Teorema 12. Si ad = a ∀ a = 0 entonces d = 1
Demostraci´on. Por (P6)
Por (P8) ⇒

d = d·1

= (ad)(a−1 )

= d(a(a−1 ))

Por (P7) ⇒
Por Hip´otesis

= a(a−1 )

Por (P5) ⇒
Por (P7) ⇒

= (da)(a−1 )
=1

∴ d=1
Teorema 13. Sea a = 0 si ad = 1 entonces d = a−1Demostraci´on. Por (P6)
Por (P8) ⇒

d = d·1

= (ad)(a−1 )

Por (P7) ⇒
Por Hip´otesis

= d(a(a−1 ))
= 1(a−1 )

Por (P5) ⇒
Por (P6) ⇒

= (da)(a−1 )
= a−1

∴ d = a−1
Teorema 14. Si x = 0 entonces (x−1 )−1 = x
Demostraci´on. Tenemos que x · (x−1 ) = 1 y y (x−1 )−1 · x−1 = x por lo tanto x y (x−1 )−1 son
inversos multiplicativos de (x−1 )−1 y por unicidad del inverso entonces (x−1 )−1 = x
Teorema 15. a · 0 = 0...