Número racional

2ºMagisterio – IFD La Costa -Número racional - 2011

Los números naturales.
Partiremos de los números naturales como conocidos, ya que los estudiaron en
el curso anterior.
Llamamos N al conjunto de los números naturales. Consideramos que cero es
un número natural.
Con los números naturales efectuamos operaciones.
A los efectos de este curso, diremos que una operación binaria es una“regla”
que asigna, a cada par ordenado de elementos de un conjunto, un único
elemento del mismo conjunto.
Con los naturales podemos definir la suma, la multiplicación. Ambas son
operaciones binarias en N, en el sentido de lo que dijimos recién, es decir,
siempre se consigue un resultado, para cada pareja es único, y pertenece al
conjunto N. Estas operaciones tienen ciertas propiedades, que solomencionaremos cuando las utilicemos.

Nos detendremos en la multiplicación:
Supongamos que queremos hallar un natural (o todos, si hubiera más de uno),
tales que:
Dicho natural multiplicado por 1 nos dé 5 como resultado.
En símbolos sería algo así: Determinar x ∈ N / x.1 = 5
Como 1 es el neutro de la multiplicación de naturales, x.1 = x cualquiera que
sea x natural. Así que llegamos a que: x =5.
Lo que hemos hecho es dividir: 5 ÷ 1 y el resultado nos dio 5.
Llamaremos a 5 “dividendo” y a 1 “divisor”.

Podríamos ya dar una definición de división (exacta), aunque esta sea

provisoria:

Si a y b son naturales, efectuar la división de a entre b consiste en encontrar el
natural c que verifique: c . b = a.

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Seguiremos con otros ejemplos:
Supongamos que queremos hallar los siguientes números naturales x:
1)x ∈ N / x.1 = 0
2)x ∈ N / x.0 = 0
3)x ∈ N / x.0 = 1
4)x ∈ N / x.2 = 4
5)x ∈ N / x.2 = 5

A partir de la resolución de los casos anteriores, podemos ver:
1) que la división entre 0 es imposible, lo que nos permitirá dar una
definición más definitiva (excluyendo a 0 como divisor).2) Que la división en N no siempre es posible, aparte del caso anterior.

Definición de división en N:
Dados a y b naturales, y b ≠ 0 , diremos que a ÷ b = c si y sólo si: c.b = a

Ahora, hemos encontrado el caso de 5 dividido entre 2, que no tiene resultado
en N. Y como este caso, hay infinitos. Por ejemplo, los de dividir cualquier
impar entre 2. Esto nos presenta un problema. Porque ladivisión, por el hecho
de conseguirse a través de ella, el número que multiplicado por otro dado, nos
devuelve uno inicial también dado, es la operación que nos sirve para medir.
Cuando nos preguntamos: ¿cuántos de estos (segmentos, cuadrados, tiras,
cosas) debo usar para “cubrir” aquello? Por ejemplo, si tenemos una longitud, y
elegimos un segmento como unidad, y la longitud que tenemos “estres veces”
la unidad, decimos que su medida es 3 unidades. El problema es que, para
esta “operación” de medir, no alcanza con los números naturales. Volveremos
sobre esto después, ahora seguiremos con la división.
La forma en que la matemática ha solucionado este problema de las divisiones
que no tienen resultado (a excepción de las divisiones entre 0), es la siguiente:

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Agrupamos (podríamos decir de modo muy informal, que “embolsamos” o
“empaquetamos”) todas las divisiones que, según cierto criterio, “si dieran
algún resultado”, este debería ser el mismo.
Esto es fácil de ver en divisiones que dan resultado en N.
Por ejemplo: 4 ÷ 2 = 8 ÷ 4 = 18 ÷ 9 y así con infinitas divisiones.
Tendremos quedecidir con qué criterio agrupamos las divisiones.
Hagamos algunos grupos, o “bolsas”:

{( 2, 4 ) ; (1, 2 ) ; ( 3, 6 ) ; (1000, 2000 ) ,...}
{( 3, 5) ; ( 6,10 ) ; ( 60,100 ) ;...}
Aquí se han sustituido las divisiones por “pares”, el par: (3,5) significa: la
división de 3 entre 5. Para saber si, por ejemplo: (2,8) y (3,5) están en la misma
clase, se utiliza el criterio siguiente: 2 x 5...