Nacho

Variables Aleatorias Bidimensionales
Definición:

Sean (X,Y) dos variables aleatorias discretas, entonces existe:

PX ,Y ( x, y ) = P( X = x, Y = y ) ; ∀( x, y ) ∈ Re c( X , Y ) llamadaDistribución

de

Probabilidad

Conjunta de (X,Y) o función de cuantía conjunta de (X,Y) tal que cumple con:

1. − 0 ≤ P( x, y ) ≤ 1 ∀( x, y ) ∈ Re c( X , Y )

∑ ∑ P ( x, y ) = 1

2. −

Re cXRe cY

Definición:

Sean (X,Y) dos variables aleatorias continuas, entonces existe:

f X ,Y ( x, y ) llamada función de densidad conjunta de (X,Y), tal que cumple con:
f ( x, y ) ≥ 0 ∀( x, y )∈ Re c( X , Y )

1.-

∫ ∫ f ( x, y)dydx = 1

2.-

Re cX Re cY

b

P(a ≤ X ≤ b; c ≤ Y ≤ d ) =

3.-

d

∫ ∫ f ( x, y)dydx

X =a Y =c

Definición: Sean X e Y dos variablesaleatorias discretas, tal que P(x,y) es su función de probabilidad conjunta, entonces:

P ( X = x) =

∑p

X ,Y

( x, y ) ; ∀x ∈ Re c( X ) Distribución de probabilidad Marginal de X

X ,Y

( x, y ); ∀y ∈ Re c(Y ) Distribución de probabilidad Marginal de Y

Re cY

P(Y = y ) =

∑p
Re cX

P( X / y ) =

PX ;Y ( x, y )

P(Y / x) =

PX ;Y ( x, y )

; ∀( x, y ) ∈ Re c( X , Y )

PY( y )

PX ( x)

E( X / Y = y j ) =

; ∀( x, y ) ∈ Re c( X , Y )

∑ x ⋅ p( x / y )

Distribución de probabilidad de X condicionada por Y

Distribución de probabilidad de Y condicionada porX

Esperanza de X condicionada por Y=yj

j

Re cX

[

]

V ( X / Y = y j ) = E ( X 2 / Y = y j ) − E ( X / Y = y j ) 2 Varianza de X condicionada por Y=yj
Cov( X , Y ) = E{[( X − E ( X )][Y − E (Y )]} = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
E ( XY ) =

∑ ∑ xy ⋅ p

X ,Y ( x, y )

Covarianza de X,Y

Esperanza conjunta de (X,Y)

Re cX Re cY

ρ(X ,Y ) =

Cov( X , Y )
; − 1 ≤ ρ ( x, y) ≤ 1 Coeficiente de correlación de Pearson de (X,Y)
σ ( x)σ ( y )

P ( X ≤ a / Y = b) =

P ( X ≤ a, Y = b )
P(Y = b)

Si X e Y son Variables aleatorias Discretas

Definición: Sean X e Y...