nada

TRANSFORMADA DE LAPLACE

Definición: Transformada de Laplace. Sea f(t) una función definida para t ≥ 0; a la expresión
ஶ

ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ = න ݁ ି௦௧ ݂ሺ‫ݐ‬ሻ ݀‫ܨ = ݐ‬ሺ‫ݏ‬ሻ
଴

Se le llama Transformadade Laplace de la función f(t), si la integral existe.

Notación: ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ significa que el operador ℒ se le aplica a la función f(t) para generar una nueva
función, llamada F(s).
Ejemplos :Hallar : ܽሻ ℒሼܿሽ donde c es un real.

Solución:

ܾሻ ℒሼ‫ݐ‬ሽ.

Solución:

ܿሻ ℒሼ‫ ݐ‬ଶ ሽ.

Solución:

‫0 > ݏ ܽݎܽ݌‬

௖
௦

ଵ
௦మ

ଶ
௦య

dividida entre la variable s; la transformada de tes మ , la transformada de ‫ ݐ‬ଶ es య . Entonces
௦
௦
ଵ

ଶ

Observamos, después de estos ejemplos, que la transformada de una constante es la constante
podemos deducir, por la definición, que:ℒሼ‫ ݐ‬௡ ሽ =
Ejemplos:

݊!

‫ ݏ‬௡ାଵ

‫… ,3,2,1 = ݊ ܽݎܽ݌‬

Hallar: ܽሻ ℒሼ݁ ௔௧ ሽ.

bሻ ℒሼcos ‫ݐݓ‬ሽ.

cሻ ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ ‫݂ ݅ݏ‬ሺ‫ݐ‬ሻ = ቄ

݀‫.1 = !0 ݁݀݊݋‬
ଵ
௦ି௔

Solución:
0, 0 ≤ ‫1 < ݐ‬
.3, ‫1 ≥ ݐ‬

dሻ ℒሼsenh ܽ‫ݐ‬ሽ ܲ‫݂݅ܿ݅݊݅݁݀ ݎ݋‬ó݊ senh ܽ‫= ݐ‬

Solución:
Solución:
௘ ೌ೟ ି௘ షೌ೟
ଶ

‫ܽ > ݏ ܽݎܽ݌‬

௦
௦మ ା ௪ మ

ଷ ି௦
݁
௦

Solución:

௔
௦మ ି௔ మ

‫ܽ > ݏ ܽݎܽ݌‬
‫|ܽ| > ݏܽݎܽ݌‬

En este ejemplo, hemos aplicado una importante propiedad de la transformada: su linealidad.
TEOREMA: La transformada de Laplace es un operador lineal: para cada función f(t) y g(t) cuya
transformadade Laplace exista y para cualesquiera constantes a y b, tenemos:
ℒሼ݂ܽሺ‫ݐ‬ሻ + ܾ݃ሺ‫ݐ‬ሻሽ = ܽℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ + ܾℒሼ݃ሺ‫ݐ‬ሻሽ.

Ejemplo:
Hallar : ℒሼ݁ ିଷ௧ + ‫ ݐ‬ଷ − 2ሽ.

Solución:

ି௦ర ି଺௦య ା଺௦ାଵ଼
௦ర ሺ௦ାଷሻEXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA
Teorema: Existencia de la transformada. Sea f(t) de orden exponencial α en t ≥ 0. Sea f(t)
seccionalmente continua en t ≥ 0, entonces ℒሼ݂ሺ‫ݐ‬ሻሽ existe para s > α.Ejemplo:

Hallar : a) ℒሼ‫ݐݓ ݊݁ݏ‬ሽ.

b) ℒሼܿ‫ݐݓ ݏ݋‬ሽ.

Solución:
Solución:

௪
௦మ ା௪ మ

௦
௦మ ା௪ మ

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE FUNCIONES BÁSICAS
Encuentre la transformada de...