nada

3. Sistemas de ecuaciones Lineales.
3.1. Definición de sistemas de ecuaciones lineales
3.2. Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución
3.3. Interpretación geométrica de las soluciones
3.4. Metodos de solucion de un sistema de ecuaciones lineales: Gauss, Gauss-Jordan, inversa de una matriz y regla de Cramer
3.5. Aplicaciones
4 Espacios vectoriales.
4.1.Definición de espacio vectorial.
4.2. Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.
4.3. Combinación lineal. Independencia lineal.
4.4. Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.
4.5. Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.
4.6. Base ortonormal, proceso de ortonormalizacion de Gram-Schmidt.
3.0 Sistemas de ecuaciones Lineales

Al buscar la palabra“lineal” en el diccionario se encuentra, entre otras definiciones, la siguiente: lineal: (del lat. linealis). 1. adj. Perteneciente o relativo a la linea.1 Sin embargo, en matemáticas la palabra “lineal” tiene un significado mucho más amplio. Una gran parte de la teoría de algebra lineal elemental es, de hecho, una generalización de las propiedades de la línea recta.

3.1. Definición de sistemas deecuaciones lineales
Una gran cantidad de los problemas que se presentan en las ciencias naturales y sociales, así como en ingeniería y en ciencias físicas, tienen que ver con ecuaciones que relacionan a dos conjuntos de variables. Una ecuación del tipo



que expresa la variable b en términos de la variable x y la constante a, se denomina ecuación lineal. Aquí se utiliza lapalabra lineal porque la gráfica de la ecuación anterior es una línea recta. De manera análoga, la ecuación

(Ecuación 1)

que expresa b en términos de las variables y las constantes conocidas
, se denomina ecuación lineal. En muchas aplicaciones se nos dan b
y las constantes y se nos dice que debemos determinar los números
denominados incógnitas, que satisfacen la ecuación (1).
Unasolución de una ecuación lineal (1) es una sucesión de n números que tienen la propiedad de satisfacer (1) cuandose sustituyen en (1).
En consecuencia, es una solución de la ecuación lineal

ya que
6(2) − 3(3) + 4(−4) = −13.

Ésta no es la única solución para la ecuación lineal dada, ya que también lo es.
De manera más general, un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
al quepodemos llamar simplemente sistema lineal, es un conjunto de
m ecuaciones lineales, cada una con n incógnitas. Un sistema lineal puede denotarse sin problema mediante


Los dos subíndices, i y j, se utilizan como sigue. El primer subíndice, i, indica que estamos trabajando con la i-ésima ecuación, mientras que el segundo subíndice, j, está asociado con la j-ésima variable xj. Así, la i-ésimaecuación es



3.2 Clasificación de los sistemas de ecuaciones lineales y tipos de solución.
 Clasificación 

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:
Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema
Sistemas sin solución: Lasecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución
Condiciones que deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones:
Una solución: Los coeficientes dex e y de las dos ecuaciones no son proporcionales. 
Ejemplo:


Un sistema con una solución única
y


Rectas no paralelas;
Un punto de intersección



x



a11 x + a12 x = b1

Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra, mientras que los términos independientes no lo son. 
Ejemplo:...