Natho

27 Congreso Nacional de Estadística e Investigación Operativa Lleida, 8-11 de abril de 2003

MODELOS ESTOCASTICOS EN CRECIMIENTO FORESTAL
Mario Rivas M.
Departamento de Ingeniería de Sistemas Universidad de Talca e-mail: mrivasm@pehuenche.utalca.cl

RESUMEN
El modelamiento de sistemas dinámic os conduce en variadas situaciones a una ecuación diferencial ordinaria del tipo

donde g es unafunción, y un parámetro o vector de parámetros desconocido que debe estimarse a partir de observaciones. Para tomar en cuenta las fluctuaciones del medio ambiente y una multitud de factores incontrolables, se incorpora un proceso de ruido estocástico t aditivame nte a la ecuación mencionada, obteniéndose así, la ecuación diferencial estocástica

En este trabajo se presenta un método y unprocedimiento para estimar parámetros en una ecuación diferencial estocástica, que permita predecir el crecimiento en un conjunto de árboles de la especie pino radiata; el cuál está basado en el modelo de Richards. La idea esencial del método consiste en suponer que el crecimiento de un árbol está regido por una ecuación diferencial determinista y que la aleatoriedad entra en el tiempo de observación.El método es debido a Bassan et al. y fue usado con el modelo logístico para estudiar la evolución de una plaga agrícola provocada por un virus.

Palabras Claves: Ecuación Diferencial Estocástica, Modelo de Richards, Transformación Aleatoria del Tiempo, Estimación de Máxima Verosimilitud.

1. Introducción
El manejo forestal eficiente es muy complejo. Un bosque natural está compuesto deárboles de distintas edades, terrenos de diversas calidades, y en bosques nativos habrá diferentes especies. Una buena planificación del manejo forestal requiere proyecciones confiables de crecimiento y rendimiento. En muchas situaciones, es suficiente el ajuste de curvas de crecimiento simples que describen el curso de variables de rodal en el tiempo. Con manejo más intensivo, sin embargo, estasvariables son manipuladas a través de intervenciones silvícolas que pueden variar en fechas e intensidad, y se hace necesario predecir el comportamiento de rodales en una variedad de circunstancias diferentes. Para comprender y controlar sistemas tan complejos como los bosques, se suele recurrir a representaciones simplificadas, llamadas modelos. En este trabajo se presenta un procedimiento de estimaciónpara predecir el crecimiento en altura de árboles, basado en el modelo de Richards.

2. Modelo de Richards
La forma usual de escribir el modelo de Richards es

Una parametrización más conveniente es

donde κ es la tasa de crecimiento, δ fija el punto de inflexión, y α es la altura máxima que alcanza el árbol.

3. Estimación del Modelo de Richards
White y Brisbin (1980), consideran laestimación del modelo de Richards basándose en una aproximación discreta del término de error. La estimación la realizan por mínimos cuadrados no lineales. Por otra parte García (1983), considera conveniente usar ecuaciones diferenciales ordinarias como base para modelar el crecimiento de árboles, específicamente ecuaciones de la forma

donde H es la altura y t es el tiempo. García afirma que elcrecimiento es afectado por las fluctuaciones del medio ambiente e incorpora aditivamente un término de error aleatorio en la ecuación, resultando una ecuación diferencial estocástica (EDE). Posteriormente integra la EDE, cuya solución discretiza, para luego estimar los parámetros usando máxima verosimilitud. En esta experiencia la estimación de los parámetros de interés parece ser insensible acambios en la varianza. También indica que las propiedades de estos estimadores son inciertas, y posiblemente inconsistentes. Como alternativa de estimación proponemos un método de transformación aleatoria del tiempo (RTT), debido a Bassan, Marcus, Talpaz y Meilijson (1994), que fue usado con el modelo logístico para estudiar la evolución de una plaga agrícola.

4. Transformación Aleatoria del...